Remarks on exact controllability for the Navier-Stokes equations

Imanuvilov, Oleg Yu.  

ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, Tome 6 (2001), pp. 39-72

Abstract (VO)

We study the local exact controllability problem for the Navier-Stokes equations that describe an incompressible fluid flow in a bounded domain $\Omega$ with control distributed in a subdomain $\omega \subset \Omega \subset {ℝ}^n,n\in \{2,3\}$. The result that we obtained in this paper is as follows. Suppose that $\widehat{v}(t,x)$ is a given solution of the Navier-Stokes equations. Let $v_0\left(x\right)$ be a given initial condition and $\parallel \widehat{v}(0,·)-v_0\parallel <\epsilon$ where $\epsilon$ is small enough. Then there exists a locally distributed control $u,\text{supp}u\subset (0,T)\times \omega$ such that the solution $v(t,x)$ of the Navier-Stokes equations:

$${\partial }_{t}v-\Delta v+(v,\nabla )v=\nabla p+u+f,\text{div}v=0,v{{|}_{\partial \Omega }=0,v|}_{t=0}=v_0$$

coincides with $\widehat{v}(t,x)$ at the instant $T$ : $v(T,x)\equiv \widehat{v}(T,x)$.

Résumé

On étudie le problème de contrôlabilité locale exacte pour les équations de Navier-Stokes incompressibles dans un domaine $\Omega$ borné avec un contrôle réparti dans un sous-domaine $\omega \subset \Omega$ $\subset {ℝ}^n,n\in \{2,3\}.$ On obtient le résultat suivant. Supposons que $\widehat{v}(t,x)$ soit une solution des équations de Navier-Stokes et $v_0\left(x\right)$ une condition initiale telle que $\parallel \widehat{v}(0,·)-v_0\parallel <\epsilon$ pour $\epsilon$ assez petit. On montre alors qu’il existe un contrôle localement réparti $u,\text{supp}u\subset [0,T]\times \omega ,$ tel que la solution $v(t,x)$ des équations de Navier-Stokes :

$${\partial }_{t}v-\Delta v+(v,\nabla )v=\nabla p+u+f,\text{div}v=0,v{{|}_{\partial \Omega }=0,v|}_{t=0}=v_0$$

coïncide avec $\widehat{v}(t,x)$ au temps $T$ : $v(T,x)\equiv \widehat{v}(T,x).$

Détail

Classification : 35K10, 35K55, 35K60, 93B05, 93C10, 93C20
Keywords: locally distributed control, Navier-Stokes system