Matrici differenziali (sistemi) ``individuate'' da ogni loro soluzione non nulla

Bratti, Giuliano

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 10B (2007) no. 3, pp. 559-567.

Riassunto (VO)

L'operatore \begin{equation*}S=\partial_x+(1+xy)\partial_y+x+y\end{equation*} (in due variabili) è individuato da ogni sua soluzione non nulla, i.e.: se $M$ è un $A_2 = \mathbb{C}[x, y]\langle\partial_x,\partial_y\rangle$modulo $(sx)$ unitario; se $m \in M$ soddisfa l'equazione $Sm = 0$ ($m \neq 0$), allora ogni $T \in A_2$ tale che $Tm = 0$ è del tipo $T = RS$. In modo equivalente, si può dire così: $A_2S$ è un $A_2$-ideale $(sx)$ massimale. In questo articolo studio le matrici differenziali $M \in A_{(p, q)}$ ($p$ righe e $q$ colonne, con elementi nell'algebra di Weyl $A_n$), tali che $A_{(p, p)}M$ sia massimale in $A_{(p, p)}$.

Abstract

A differential matrix has entries in the Weyl algebra $A_n=A$. For the sake of simplicity, $M$ is also the canonical differential system associated with it. Let $A_(p,q)$ be the $A_{(p, q)}$ be the $A_{(p, p)}$-mod$(sx)$ of matrices, $p$ arrows and $q$ columns. Here, we will study the following problems: (P1) Is it true (as in the case of a single differential operator) that the maximality of $A_{(p, p)}M$ in $A(p, q)$ is equivalent to: $\forall M' \in A(p, q)$ such that $M'(u) = M(u) = 0$, $u \neq 0$, we have $M' \in A_{(p, p)}M$? (P2) Describe $M \in A_{(p, q)}$ such that $A_{(p, p)}M$ is maximal in $A_{(p, q)}$.

Bibliographie

[1] J. Bernstein - V. Lunts, On non-holonomic irreducible D-modules, Inv. Math., 94 (1988), 223-243. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl

[2] J. T. Stafford, Non-holonomic Modules over Weyl algebras and enveloping algebras, Inv. Math., 79 (1985), 619-638. | fulltext EuDML | DOI | MR | Zbl