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On lattice properties of S-permutably embedded subgroups of finite soluble groups
Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 8B (2005) no. 2, pp. 505-517.

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In this paper we prove the following results. Let π be a set of prime numbers and G a finite π-soluble group. Consider U, V ≤ G and $H\in \mathrm{Hall}_{\pi}(G)$ such that $H\cap V \in \mathrm{Hall}_{\pi}(V)$ and $1\neq H\cap U\in \mathrm{Hall}_{\pi}(U)$. Suppose also $H \cap U$ is a Hall π-sub-group of some S-permutable subgroup of G. Then $H\cap U \cap V\in \mathrm{Hall}_{\pi}(U\cap V)$ and $\langle H\cap U, H\cap V \rangle\in \mathrm{Hall}_{\pi}(\langle U\cap V\rangle)$. Therefore,the set of all S-permutably embedded subgroups of a soluble group G into which a given Hall system Σ reduces is a sublattice of the lattice of all Σ-permutable subgroups of G. Moreover any two subgroups of this sublattice of coprimeorders permute.
In questo lavoro proviamo i seguenti risultati. Sia π un insieme di numeri primi e G un π-gruppo risolubile. Consideriamo U, V ≤ G e $H \in \mathrm{Hall}_{\pi}(G)$ tali che $H \cap V \in \mathrm{Hall}_{\pi}(V)$ e $1 \neq H \cap U \in \mathrm{Hall}_{\pi}(U)$. Supponiamo anche che $H \cap U$ sia un π- sottogruppo di Hall di un sottogruppo S-permutabile di G. Allora $H\cap U \cap V\in \mathrm{Hall}_{\pi}(U\cap V)$ e $\langle H\cap U, H\cap V \rangle\in \mathrm{Hall}_{\pi}(\langle U\cap V\rangle)$ . Oltre a ciò, l'insieme di tutti i sottogruppi S-permutabilmente immersi di un gruppo risolubile G in cui un dato sistema di Hall Σ si riduce è un sottoreticolo del reticolo di tutti i sottogruppi Σ-permutabili di G. Si verifica anche che due qualsiasi sottogruppi di questo reticolo di ordini primi fra loro permutano. 
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Ezquerro, L. M.; Gómez-Fernández, M.; Soler-Escrivà, X. On lattice properties of S-permutably embedded subgroups of finite soluble groups. Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 8B (2005) no. 2, pp. 505-517. http://geodesic.mathdoc.fr/item/BUMI_2005_8_8B_2_a13/

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