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A sharp weighted Wirtinger inequality
Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 8B (2005) no. 1, pp. 259-267.

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We obtain a sharp estimate for the best constant $C>0$ in the Wirtinger type inequality $$ \int_{0}^{2\pi}\gamma^{p}\omega^{2}\leq C \int_{0}^{2\pi}\gamma^{q}\omega'^{2} $$ where $\gamma$ is bounded above and below away from zero, $w$ is $2\pi$-periodic and such that $\int_{0}^{2\pi}\gamma^{p}\omega=0$, and $p+q\geq 0$. Our result generalizes an inequality of Piccinini and Spagnolo.
Si ottiene una stima ottimale per la migliore costante $C>0$ nella disuguaglianza di tipo Wirtinger $$ \int_{0}^{2\pi}\gamma^{p}\omega^{2}\leq C \int_{0}^{2\pi}\gamma^{q}\omega'^{2} $$ dove $\gamma$ è limitata superiormente e dotata di estremo inferiore positivo, $w$ è periodica di periodo $2\pi$ e tale che $\int_{0}^{2\pi}\gamma^{p}\omega=0$, e $p+q\geq 0$. Tale risultato generalizza una disuguaglianza di Piccinini e Spagnolo. 
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[4] L. C. Piccinini - S. Spagnolo, On the Hölder continuity of solutions of second order elliptic equations in two variables, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 26, No. 2 (1972), 391-402. | fulltext mini-dml | MR | Zbl