Approssimazione diofantea, frazioni continue e misure d’irrazionalità

Viola, Carlo

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 7A (2004) no. 2, pp. 291-320.

Riassunto (VO)

Nella sua accezione classica, l’approssimazione diofantea ad un dato numero irrazionale $\alpha$ è la ricerca degli interi positivi $s$ tali che la distanza di $s\alpha$ dall’insieme dei numeri interi sia eccezionalmente piccola; cioè, detto $r$ l’intero più vicino a $s\alpha$, tali che $|s\alpha - r| = s|\alpha - r/s|$ sia piccolo. Dunque interessano le approssimazioni razionali $r/s$ ad $\alpha$ che rendano piccola la distanza $|\alpha - r/s|$ pur avendo denominatore $s$ non eccessivamente grande. In questo articolo richiamiamo alcune nozioni fondamentali in approssimazione diofantea, in particolare quella di approssimazione ottimale, e discutiamo la relazione che intercorre fra le approssimazioni ottimali ad $\alpha$ e lo sviluppo di $\alpha$ in frazione continua. Introduciamo inoltre la nozione di misura d’irrazionalità di $\alpha$, e presentiamo alcuni risultati classici sull’approssimazione diofantea degli irrazionali algebrici, con applicazioni alla costruzione di numeri trascendenti (Liouville) e alla risolubilità di equazioni diofantee (Thue).

Abstract

The diophantine approximation to a given irrational number $\alpha$ can be viewed as the quest for positive integers $s$ such that the distance from $s\alpha$ to the set of integers is exceptionally small. Thus, denoting by $r$ the integer nearest to $s\alpha$, one seeks positive integers $s$ such that $|s\alpha - r| = s|\alpha - r/s|$ is small; or, in other words, rational approximations $r/s$ to $\alpha$ for which the distance $|\alpha - r/s|$ is small but the denominator $s$ is not too large. In this paper we recall some basic facts in diophantine approximation such as the notion of best approximation, and we discuss the relation between the best approximations to $\alpha$ and the continued fraction expansion of $\alpha$. We also recall the notion of irrationality measure of $\alpha$, and we discuss some classical results about the diophantine approximation to algebraic irrational numbers, with applications to the construction of transcendental numbers (Liouville) and to the solutions of diophantine equations (Thue).

Bibliographie

[1] L. Berggren- J. Borwein- P. Borwein, Pi: a source book, Springer-Verlag, 1997. | Zbl

[2] J. W. S. Cassels, An introduction to diophantine approximation, Cambridge Tracts in Mathematics no. 45, Cambridge University Press, 1957. | Zbl

[3] L. Euler, De fractionibus continuis dissertatio, Commentarii Acad. Sci. Imper. Petropol. vol. IX, 1737(1744), 98-137; Opera omnia, ser. I, vol. XIV, Teubner, Lipsia e Berlino, 1925, 187-215.

[4] L. Giacardi - C. S. Roero- C. Viola, Sui contributi di Lagrange alla teoria dei numeri, Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino, 53(1995), 151-181.

[5] G. H. Hardy- E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, 1960. | Zbl

[6] M. Hata, Rational approximations to $\pi$ and some other numbers, Acta Arith., 63(1993), 335-349. | fulltext EuDML | Zbl

[7] G. Rhin- C. Viola, On a permutation group related to \(\zeta\)(2), Acta Arith., 77 (1996), 23-56. | fulltext EuDML | Zbl