Function space topologies deriving from hypertopologies and networks

Di Concilio, A. ; Miranda, A.

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 4B (2001) no. 2, pp. 457-471

Résumé

In un progetto di generalizzazione delle classiche topologie di tipo «set-open» di Arens-Dugundji introduciamo un metodo generale per produrre topologie in spazi di funzioni mediante l'uso di ipertopologie. Siano $X$, $Y$ spazi topologici e $C(X, Y)$ l'insieme delle funzioni continue da $X$ verso $Y$. Fissato un «network» $\alpha$ nel dominio $X$ ed una topologia $\tau$ nell'iperspazio $CL(Y)$ del codominio $Y$ si genera una topologia $\tau_{\alpha}$ in $C(X, Y)$ richiedendo che una rete $\{f_{\lambda}\}$ di $C(X, Y)$ converge in $\tau_{\alpha}$ ad $f \in C(X, Y)$ se e solo se la rete $\{\overline{f_{\lambda}(A)}\}$ converge in $\tau$ ad $\overline{f(A)}$ per ogni elemento $A$ in $\alpha$. Quando $Y$ é metrizzabile acquisiamo prima interessanti proprietà individuali delle topologie determinate in $C(X, Y)$ mediante la procedura descritta da una metrica di Hausdorff nell'iperspazio $CL(Y)$ di $Y$ indotta a sua volta da una metrica compatibile con $Y$ e poi focalizziamo la nostra attenzione sulle proprietà del loro estremo superiore che è indotto in $C(X, Y)$ dalla ipertopologia localmente finita.