Relationship of certain rings of infinite matrices over integers

Petrich, Mario ; Silva, Pedro V.

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 3B (2000) no. 2, pp. 347-365

Résumé

Sia $N$ l'insieme degli interi non negativi e $Z$ l'anello degli interi. Sia $\mathcal{A}$ l'anello delle matrici $N\times N$ su $Z$ che hanno solo un numero finito di cifre non nulle in ogni linea ed in ogni colonna. Sia $B$ il sottoanello generato da $X$ e $Y$, dove $X$ (rispettivamente $Y$) è ottenuto dalla matrice identità muovendo gli 1 una posizione a destra (rispettivamente in giù). Sia pure $\mathcal{C}$ il sottoanello di $\mathcal{A}$ generato da $1-X$ e $1-Y$. Infine sia $\mathcal{F}$ il sottoanello delle matrici di $\mathcal{A}$ che hanno solo un numero finito di cifre non nulle. Consideriamo estensioni essenziali di anelli e l'immersione usuale di un anello in un anello unitario (chiamata qui l'immersione di Dorroh). Usando questi concetti, mostriamo che $\mathcal{A}$ è una estensione essenziale massimale di tutti i suoi ideali che contengono $\mathcal{F}$. Mostriamo inoltre che $\mathcal{B}$ è una estensione di Dorroh di $\mathcal{C}$, che è l'idealizer di $\mathcal{C}$ in $\mathcal{A}$ e anche che è una estensione essenziale massimale di tutti i suoi ideali che contengono $\mathcal{C}$.