Unirational quartic hypersurfaces
Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 3B (2000) no. 2, pp. 301-314.

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Dopo aver ricordato i principali risultati concernenti l'unirazionalità dell'ipersuperficie quartica generale $X_{4}$ di $\mathbf{P}^{n}$ (definita su un corpo K qualsiasi) si illustra la costruzione geometrica che permette di provare l'esistenza di una superficie razionale in ogni $X_{4}$ di $\mathbf{P}^{n}$, con $n \geq 4$, e di trovare altri esempi di ipersuperficie quartiche lisce che sono unirazionali oltre a quello dato da B. Segre nel 1960. Si mostra poi come l'analisi delle superficie quartiche monoidali (cioè contenenti un punto triplo come unica singolarità) ad asintotiche separabili sia utile per la determinazione di famiglie di ipersuperficie quartiche lisce unirazionali in $\mathbf{P}^{4}$ e $\mathbf{P}^{5}$. Vengono infine segnalati alcuni possibili sviluppi e problemi ancora aperti in questo tipo di questioni.
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Marchisio, Marina Rosanna. Unirational quartic hypersurfaces. Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 3B (2000) no. 2, pp. 301-314. http://geodesic.mathdoc.fr/item/BUMI_2000_8_3B_2_a2/

[1] A. Altman-S. Kleiman, Foundations of the theory of Fano schemes, Comp. Math., 34 (1977), 3-47. | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[2] M. Artin-D. Mumford, Some elementary examples of unirational varieties which are not rational, Proc. London Math. Soc., 25 (1972), 75-95. | MR | Zbl

[3] A. Capani-G. Niesi-L. Robbiano, CoCoA, System for doing computations in commutative algebra, available via anonymous ftp from: cocoa.dima.unige.

[4] C. Ciliberto, Osservazioni su alcuni classici teoremi di unirazionalità per ipersuperficie e complete intersezioni algebriche proiettive, Ricerche di Mat., 29 (1980), 175-191. | Zbl

[5] H. Clemens-Ph. A. Griffiths, The intermediate Jacobian of the cubic threefold, Ann. Math., 95 (1972), 281-356. | MR | Zbl

[6] A. Conte-J. P. Murre, On a theorem of Morin on the unirationality of the quartic fivefold, Acc. Sc. Torino, Atti Sc. Fis., 132 (1998), 49-59. | MR | Zbl

[7] G. Fano, Sulle varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli, Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna 3 - 10 settembre 1928, Tomo IV, Zanichelli, Bologna (1929), 115-121. | Jbk 57.0448.03

[8] J. Harris-B. Mazur-R. Pandharipande, Hypersurfaces of low degree, Duke Math. Jour., 95 (1998), 125-160. | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[9] J. Harris-U. Tschinkel, Rational points on quartics, Duke Math. Alg. Geom., 9809015 (1998). | fulltext mini-dml | fulltext mini-dml | Zbl

[10] V. A. Iskovskikh-Yu. I. Manin, 3-Dimensional quartics and counterexamples to the Lüroth problem, Math. USSR Sb., 15 (1971), 141-166. | Zbl

[11] Maple V, Sistema di Calcolo Simbolico prodotto e distribuito dalla Waterloo Maple Software.

[12] M. Marchisio, Every quartic 3-fold contains a rational surface, to appear.

[13] M. Marchisio, A 54-(114-)dimensional family of smooth unirational quartic 3-(4-) folds, to appear. | fulltext bdim | MR | Zbl

[14] U. Morin, Sulla unirazionalità delle ipersuperficie algebriche del quarto ordine, Atti Acc. Naz. Lincei Rend., 24 (1936), 191-194. | Zbl

[15] U. Morin, Sull'irrazionalità dell'ipersuperficie algebrica di qualunque ordine e dimensione sufficientemente alta, Atti II Congr. U.M.I., 277 (1940), 298-302. | Jbk 68.0399.03 | MR

[16] U. Morin, Sulla unirazionalità dell'ipersuperficie del quarto ordine dell'$S_6$, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 21 (1952), 406-409. | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[17] J. P. Murre, Discussion of a theorem of Morin, Convegno su «Argomenti di Geometria Algebrica», Povo (Trento) (1979), note ciclostilate.

[18] K. Paranjape-V. Srinivas, Unirationality of complete intersections, Flips and Abundance for Algebraic Threefolds, Astérisque, 211 (1992), 241-247. | Zbl

[19] A. Predonzan, Intorno agli $S_k$ giacenti sulla varietà intersezione completa di più forme, Rend. Acc. dei Lincei Padova, 5 (1948), 238-242. | MR | Zbl

[20] A. Predonzan, Sull'unirazionalità delle varietà intersezione completa di più forme, Rend. Sem. Mat. Padova, 18 (1949), 161-176. | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[21] A. Predonzan, Alcune questioni di separabiltà, Rend. Sem. Mat. Padova, 30 (1960), 124-148. | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[22] A., Sulle superficie monoidali del quarto ordine ad asintotiche separabili, Rend. Sem. Mat. Padova, 30 (1960), 215-231. | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[23] A. Predonzan, Su una generalizzazione di una proprietà relativa a ipersuperficie quadriche e cubiche, Rend. Sem. Mat. Padova, 31 (1961), 357-373. | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[24] A. V. Pukhlikov, Birational automorphisms of Fano hypersurfaces, Preprint of Max-Planck-Institut, MPI 97/13, in attesa di essere pubblicato in Invent. Math. | MR | Zbl

[25] L. Ramero, Effective estimates for unirationality, Man. Math., 68 (1990), 435-445. | MR | Zbl

[26] B. Segre, The biaxial surfaces and the equivalence of binary forms, Proc. Cambridge Phil. Soc., 41 (1945), 187-209. | MR | Zbl

[27] B. Segre, The on arithmetical properties of quadric and quartic surfaces, J. London Math. Soce., 19 (1944), 195-200. | MR | Zbl

[28] B. Segre, Variazione continua e omotopia in geometria algebrica, Ann. Mat. Pura Appl., 50 (1960), 149-186. | MR | Zbl

[29] T. Shioda, An example of unirational surfaces in characteristic $p$, Math. Ann., 211 (1974), 233-236. | MR | Zbl

[30] B. Tennison, On the quartic threefolds, 29 (1974), 714-734. | MR | Zbl