Some remarks about proper real algebraic maps

Beretta, L. ; Tognoli, A.

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 3B (2000) no. 1, pp. 117-133

Résumé

Nel presente lavoro si studiano le applicazioni polinomiali proprie $$\varphi: \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{q}.$$ In particolare si prova:1) se $\varphi: \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ è un'applicazione polinomiale tale che $\varphi^{-1}(y)$ è compatto per ogni $y\in\mathbb{R}$, allora $\varphi$ è propria;2) se $\varphi: \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{q}$ è polinomiale a fibra compatta e $\varphi(\mathbb{R}^{n})$ è chiuso in $\mathbb{R}^{q}$ allora $\varphi$ è propria;3) l'insieme delle applicazioni polinomiali proprie di $\mathbb{R}^{n}$ in $\mathbb{R}^{q}$ è denso, nella topologia $C^{\infty}$, nello spazio delle applicazioni $C^{\infty}$ di $\mathbb{R}^{n}$ in $\mathbb{R}^{q}$.