On the fiber of the compound of a real analytic function by a projection

Jacquemard, Alain

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 2B (1999) no. 2, pp. 263-278

Résumé

Sia $f: \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{k}$ con $m \geq k \geq 1$ una funzione analitica. Se il luogo critico di $f$ è compatto, esiste una fibrazione $C^{\infty}$ localmente triviale associata ai livelli $f$. Supponiamo $k \geq 2$ e sia $\pi_{k}$ la proiezione $(x_{1},\ldots, x_{k-1} , x_{k}) \mapsto (x_{1},\ldots, x_{k-1} , x_{k})$. Sotto una condizione sul luogo critico di $\tilde{f}= \pi_{k}\circ f$ esiste anche una fibrazione $C^{\infty}$ localmente triviale associata ai livelli di $\tilde{f}$. Siano $F$ e $\tilde{F}$ le fibre rispettitive, e $I$ l'intervallo unità reale. Dimostriamo qui che $\tilde{F}$ è omeomorfa al prodotto $F\times I$. Nel caso di polinomi studiamo criteri effettivi. Diamo inoltre un'applicazione del risultato principale.