Some simple nonlinear PDE's without solutions

Brezis, Haïm ; Cabré, Xavier

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 1B (1998) no. 2, pp. 223-262

Résumé

In questo articolo consideriamo alcune semplici equazioni a derivate parziali elittiche nonlineari, per le quali il Teorema della Funzione Inversa, se applicato in modo formale, suggerisce l'esistenza di soluzioni. Nonostante ciò, proviamo che non esistono soluzioni neppure in vari sensi deboli. Un problema modello è dato da $-\Delta u= (u^{2}/|x|^{2})+c$ in $\Omega$, $u=0$ su $\partial\Omega$, dove $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$, $N\geq2$, è un dominio limitato contenente $0$. Per qualunque costante $c > 0$, arbitrariamente piccola, proviamo che questo problema non ammette soluzioni distribuzionali in $\mathcal{D}'(\Omega\setminus\{0\})$. Mostriamo anche come, cercando di approssimare il problema mediante un certo procedimento naturale, accada che le soluzioni dei problemi approssimati esplodano dappertutto in $\Omega$. Infine proviamo gli analoghi parabolici di questi risultati e, in particolare, alcuni fenomeni di «blow-up» istantaneo e completo.