On the smallest degree of a surface containing a space curve

Roggero, Margherita ; Valabrega, Paolo

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 1B (1998) no. 1, pp. 123-138

Résumé

Sia $C$ una curva dello spazio di grado $D$ contenuta in una superficie di grado $r$ e non in una di grado $r-1$. Se $C$ è integra, allora $r\leq\sqrt{6D-2}-2$; questo limite superiore, raggiunto in alcuni casi (cfr. [5]), non vale però per curve arbitrarie (cfr. [?, 3 (iii)]). Ogni curva $C$ dello spazio (anche non ridotta o riducibile) può essere ottenuta come schema degli zero di una sezione non nulla di un opportuno fascio riflessivo $F$ di rango 2. Mediante i fasci riflessivi, siamo in grado di estendere alle curve riducibili o non ridotte e di migliorare (anche nel caso delle curve integre) la precedente diseguaglianza relativa al grado minimo $r$ di superfici contenenti $C$, in quanto tale grado è collegato ai livelli $\alpha$ e $\beta$ delle prime due sezioni indipendenti di $F$. I nostri limiti superiori si ottengono introducendo, oltre al grado $D$ della curva stessa, anche il numero $e=\max\{n/\omega_{C}(-n) \text{ ha una sezione globale che lo genera quasi ovunque } \}$ e la seconda classe di Chern $c_{2}$ di $F$. Più precisamente proveremo che, se $(e+4)/2\geq\sqrt{D}$, allora $r\leq\sqrt{D}$; in caso contrario $r\leq\sqrt{6D+1}-1-(e+4)/4$. Inoltre, se $C$ corrisponde alla prima sezione non nulla di $F$, si ha $r\leq2\sqrt{3c_{2}+1+3c_{1}/4}-1$ ed anche $r\leq\sqrt{6D-(e+4)^{2}+1}-2$