Locally algebraic automorphisms of the ${\rm PGL}_2(F)$-tree and ${\mathfrak {o}}$-torsion representations

For a local field $F$ and an Artinian local coefficient ring $Λ$ with the same positive residue characteristic $p$ we define, for any $e \in ℕ$ , a category $ℭ^{(e)} (Λ)$ of ${GL}_{2} (F)$ -equivariant coefficient systems on the Bruhat-Tits tree $X$ of ${PGL}_{2} (F)$ . There is an obvious functor from the category of ${GL}_{2} (F)$ -representations over $Λ$ to $ℭ^{(e)} (Λ)$ . If $F = ℚ_{p}$ then $ℭ^{(1)} (Λ)$ is equivalent to the category of smooth ${GL}_{2} (ℚ_{p})$ -representations over $Λ$ generated by their invariants under a pro- $p$ -Iwahori subgroup. For general $F$ and $e$ we show that the subcategory of all objects in $ℭ^{(e)} (Λ)$ with trivial central character is equivalent to a category of representations of a certain subgroup of $Aut (X)$ consisting of “locally algebraic automorphisms of level $e$ ”. For $e = 1$ there is a functor from this category to that of modules over the (usual) pro- $p$ -Iwahori Hecke algebra; it is a bijection between irreducible objects.

Finally, we present a parallel of Colmez' functor $V \mapsto 𝐃 (V)$ : to objects in $ℭ^{(e)} (Λ)$ (for any $F$ ) we assign certain étale $(ϕ, Γ)$ -modules over an Iwasawa algebra $𝔬 [[{\hat{N}}_{0, 1}^{(1)}]]$ which contains the (usually considered) Iwasawa algebra $𝔬 [[N_{0}]]$ . This assignment preserves finite generation.

Soient $F$ un corps local et $Λ$ un anneau artinien local de même caractéristique residuelle $p$ . Pour $e \in ℕ$ on definit une catégorie $ℭ^{(e)} (Λ)$ de systèmes à coefficients dans l'arbre de Bruhat-Tits de ${PGL}_{2} (F)$ , équivariant sous l'action de ${GL}_{2} (F)$ . Il y a un foncteur de la catégorie des représentations de ${GL}_{2} (F)$ sur $Λ$ vers $ℭ^{(e)} (Λ)$ . Si $F = ℚ_{p}$ , il induit une équivalence entre $ℭ^{(1)} (Λ)$ et la catégorie des représentations lisses de ${GL}_{2} (F)$ , engendrées par leurs vecteurs invariants sous un sous-groupe pro- $p$ Iwahori. Pour chaque $F$ et $e$ , la sous-catégorie des objects dans $ℭ^{(e)} (Λ)$ à caractère central trivial est équivalente à la catégorie des représentations d'un sous-groupe de $Aut (X)$ : le groupe des automorphismes « localement algébriques de niveau $e$ » Pour $e = 1$ il y a un foncteur de cette catégorie vers celle des modules sur l'algèbre de pro- $p$ Iwahori usuelle ; c'est une bijection entre objects irréductibles.

Finalement, on propose un foncteur de $ℭ^{(e)} (Λ)$ vers la catégorie des $(ϕ, Γ)$ -modules sur une algèbre d'Iwasawa $𝔬 [[{\hat{N}}_{0, 1}^{(1)}]]$ qui contient l'algèbre d'Iwasawa usuelle $𝔬 [[N_{0}]]$ .

Publié le : 2015-09-04

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2694

Classification : 22E50, 20G25, 20E42
Keywords: Local field, Bruhat-Tits tree, torsion representations, pro-$p$-Iwahori Hecke algebra, $(\varphi ,\Gamma )$-modules
Mots-clés : Corps local, Arbre de Bruhat-Tits, Algèbre du pro-$p$ Iwahori, $(\varphi ,\Gamma )$-modules

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Grosse-Klönne, Elmar. Locally algebraic automorphisms of the ${\rm PGL}_2(F)$-tree and ${\mathfrak {o}}$-torsion representations. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 143 (2015) no. 3, pp. 433-466. doi: 10.24033/bsmf.2694

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