Sur les variétés $X\subset {\mathbb{P}}^N$ telles que par $n$ points passe une courbe de $X$ de degré donné

Pirio, Luc ; Trépreau, Jean-Marie

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 141 (2013) no. 1, pp. 131-196

Résumé (VO)

Soit $r\ge 1$, $n\ge 2$, et $q\ge n-1$ des entiers. On introduit la classe ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ des sous-variétés $X$ de dimension $r+1$ d’un espace projectif, telles que pour $(x_1,...,x_n)\in X^n$ générique, il existe une courbe rationnelle normale de degré $q$, contenue dans $X$ et passant par les points $x_1,...,x_n$ ; $X$ engendre un espace projectif dont la dimension, pour $r$, $n$ et $q$ donnés, est la plus grande possible compte tenu de la première propriété. Sous l’hypothèse $q\ne 2n-3$, on détermine toutes les variétés $X$ appartenant à la classe ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$. On montre en particulier qu’il existe une variété $X_0\subset {\mathbb{P}}^{r+n-1}$ de degré minimal $n-1$ et une application birationnelle $X_0⤏X$ qui envoie une section de $X_0$ par un ${\mathbb{P}}^{n-1}\subset {\mathbb{P}}^{r+n-1}$ générique sur une courbe rationnelle normale de degré $q$. Sans hypothèse sur $q$, on définit sur l’espace des courbes rationnelles normales de degré $q$ contenues dans la variété $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ une structure quasi-grassmannienne. La variété $X$ est de la forme précédente si et seulement si cette structure est localement isomorphe à la structure standard, celle de la grassmannienne des $(n-1)$-plans de ${\mathbb{P}}^{r+n-1}$. Le problème de la détermination des variétés $X\in {𝒳}_{r+1,n}(2n-3)$ reste ouvert. Nous donnons quelques exemples de variétés des classes ${𝒳}_{r+1,3}\left(3\right)$ et ${𝒳}_{r+1,4}\left(5\right)$ qui ne sont pas de la forme qu’on vient de décrire. Nous avons été conduits à l’étude des variétés $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ par nos travaux sur le problème de l’algébrisation des $d$-tissus, de codimension $r$ sur une variété de dimension $rn$, qui sont de rang maximal. Ce problème, considéré d’abord, dans cette généralité, par Chern et Griffiths [3]-[4], a été récemment résolu pour $r=1$ dans Trépreau [22]. Le cas général fait l’objet d’un article en cours de préparation, qui utilise le résultat principal obtenu ici, voir Pirio-Trépreau [19].

Abstract

For given integers $r\ge 1$, $n\ge 2$ and $q\ge n-1$, we introduce the class ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ of $(r+1)$-dimensional subvarieties $X$ of a projective space, such that: any generic set of $n$ points of $X$ is contained in a rational normal curve on $X$, of degree $q$; $X$ spans a projective space the dimension of which is the biggest possible, considering the first property. Our main result is the following. Theorem. - If $q\ne 2n-3$ and $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$, there exists a variety $X_0$ in ${\mathbb{P}}^{r+n-1}$, of dimension $r+1$ and minimal degree $n-1$, and a birational map $X_0⤏X$, such that a section of $X_0$ by a generic ${\mathbb{P}}^{n-1}$ is mapped onto a rational normal curve of degree $q$. Without any assumption on $q$, we say that a variety $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ is standard if it satisfies the conclusion of the preceding theorem. Building upon the classification of varieties of minimal degree, which is well-known, we give a complete classification of standard varieties in each class ${𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$. The existence and classification of non-standard varieties $X\in {𝒳}_{r+1,n}(2n-3)$, for $r\ge 2$ and $n\ge 3$, remains an open problem. However, though the condition $q\ne 2n-3$ in the theorem above may not be sharp, we give examples of non-standard varieties in ${𝒳}_{r+1,3}\left(3\right)$ and in ${𝒳}_{r+1,4}\left(5\right)$. In the general case, if $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$, we show that the space of rational normal curves of degree $q$ on $X$ carries a natural quasi-grassmannian structure. Our second main result is: Theorem. - A variety $X\in {𝒳}_{r+1,n}\left(q\right)$ is standard if and only if the associated quasi-grassmannian structure is integrable, that is locally isomorphic to the natural stucture of the grassmannian of $(n-1)$-planes in ${\mathbb{P}}^{r+n-1}$. In a forthcoming paper we shall apply our results to the so-called Problem of algebraization of webs of maximal rank, giving in most cases a solution to a question first raised, in this generality, by Chern and Griffiths.

Détail

DOI : 10.24033/bsmf.2645

Classification : 14N, 14M22, 14J40, 53A, 53A40, 53C10
Mots-clés : variété projective, variété rationnellement connexe, courbe rationnelle normale, variété de degré minimal, structure quasi-grassmannienne
Keywords: projective varieties $X\subset \mathbb {P}^N$ such that any generic set of $n$ points of $X$ is contained in a rational curve on $X$, of a given degree