Invariance of the parity conjecture for $p$-Selmer groups of elliptic curves in a $D_{2p^{n}}$-extension

We show a $p$ -parity result in a $D_{2 p^{n}}$ -extension of number fields $L / K$ ( $p \geq 5$ ) for the twist $1 \oplus η \oplus τ$ : $W (E / K, 1 \oplus η \oplus τ) = {(- 1)}^{〈1 \oplus η \oplus τ, X_{p} (E / L)〉}$ , where $E$ is an elliptic curve over $K$ , $η$ and $τ$ are respectively the quadratic character and an irreductible representation of degree $2$ of $Gal (L / K) = D_{2 p^{n}}$ , and $X_{p} (E / L)$ is the $p$ -Selmer group. The main novelty is that we use a congruence result between $ε_{0}$ -factors (due to Deligne) for the determination of local root numbers in bad cases (places of additive reduction above 2 and 3). We also give applications to the $p$ -parity conjecture (using the machinery of the Dokchitser brothers).

On démontre un résultat de $p$ -parité, dans une extension galoisienne de corps de nombre de groupe $D_{2 p^{n}}$ , pour le twist $1 \oplus η \oplus τ$ : $W (E / K, 1 \oplus η \oplus τ) = {(- 1)}^{〈1 \oplus η \oplus τ, X_{p} (E / L)〉}$ , où $E$ est une courbe elliptique définie sur $K$ , $η$ et $τ$ sont respectivement le caractère quadratique et une représentation irréductible de degré $2$ de $Gal (L / K) = D_{2 p^{n}}$ , et $X_{p} (E / L)$ est le $p$ -groupe de Selmer. La principale nouveauté est le fait que l’on utilise un résultat de congruence (dû à Deligne) pour déterminer les « root numbers » locaux dans les mauvais cas (les places additives au-dessus de $2$ et $3$ ). On donne aussi, en utilisant la machinerie des frères Dokchitser, deux applications à la conjecture de $p$ -parité.

MR Zbl

DOI : 10.24033/bsmf.2620

Classification : 11G05, 11G07, 11G40
Keywords: elliptic curves, Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, parity conjecture, regulator constants, epsilon factors, root numbers
Mots-clés : courbes elliptiques, conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, conjecture de parité, facteurs epsilon

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TY  - JOUR
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de La Rochefoucauld, Thomas. Invariance of the parity conjecture for $p$-Selmer groups of elliptic curves in a $D_{2p^{n}}$-extension. Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 4, pp. 571-592. doi: 10.24033/bsmf.2620

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