On the size of the sets of gradients of bump functions and starlike bodies on the Hilbert space

[Sur la taille des ensembles de dérivées des fonctions bosses et des hyperplans tangents aux corps étoilés dans l'espace de Hilbert]

Azagra, Daniel ; Jiménez-Sevilla, Mar

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 130 (2002) no. 3, pp. 337-347

Abstract (VO)

We study the size of the sets of gradients of bump functions on the Hilbert space ${\ell }_2$, and the related question as to how small the set of tangent hyperplanes to a smooth bounded starlike body in ${\ell }_2$ can be. We find that those sets can be quite small. On the one hand, the usual norm of the Hilbert space ${\ell }_2$ can be uniformly approximated by $C^1$ smooth Lipschitz functions $\psi$ so that the cones generated by the ranges of its derivatives ${\psi }^{\text{'}}\left({\ell }_2\right)$ have empty interior. This implies that there are $C^1$ smooth Lipschitz bumps in ${\ell }_2$ so that the cones generated by their sets of gradients have empty interior. On the other hand, we construct $C^1$-smooth bounded starlike bodies $A\subset {\ell }_2$, which approximate the unit ball, so that the cones generated by the hyperplanes which are tangent to $A$ have empty interior as well. We also explain why this is the best answer to the above questions that one can expect.

Résumé

On étudie la taille des ensembles de dérivées des fonctions bosses sur l’espace de Hilbert ${\ell }_2$, ainsi que celle de l’ensemble des hyperplans tangents à un corps étoilé dans ${\ell }_2$. On trouve que ces ensembles peuvent être assez petits. D’un côté, la norme de l’espace de Hilbert peut s’approximer uniformément par des fonctions de classe $C^1$ et lipschitziennes $\psi$ telles que les cônes générés par les images des dérivées ${\psi }^{\text{'}}\left({\ell }_2\right)$ sont d’intérieur vide. Cela entraîne l’existence de fonctions de classe $C^1$ et lipschitziennes dont les cônes générés par les images des dérivées sont d’intérieur vide. On construit d’autre part des corps étoilés bornés lisses de classe $C^1$ et lipschitziens dont les cônes générés par leurs hyperplans tangents sont d’intérieur vide. On montre aussi pourquoi ces résultats constituent la meilleure réponse à ces questions que l’on puisse espérer.

Détail

DOI : 10.24033/bsmf.2422

Classification : 46B20, 58B99
Keywords: gradient, bump function, starlike body
Mots-clés : dérivées, hyperplans tangents, fonctions bosses, corps étoilés