Brown's dihedral moduli space and freedom of the gravity operad

[Espace de modules dièdre de Brown et liberté de l'opérade de gravité]

Alm, Johan ; Petersen, Dan

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 50 (2017) no. 5, pp. 1081-1122

Abstract (VO)

Francis Brown introduced a partial compactification M0,nδ of the moduli space M0,n. We prove that the gravity cooperad, given by the degree-shifted cohomologies of the spaces M0,n, is cofree as a nonsymmetric anticyclic cooperad; moreover, the cogenerators are given by the cohomology groups of M0,nδ. As part of the proof we construct an explicit diagrammatically defined basis of H•(M0,n) which is compatible with cooperadic cocomposition, and such that a subset forms a basis of H•(M0,nδ). We show that our results are equivalent to the claim that Hk(M0,nδ) has a pure Hodge structure of weight 2k for all k, and we conclude our paper by giving an independent and completely different proof of this fact. The latter proof uses a new and explicit iterative construction of M0,nδ from 𝔸n-3 by blow-ups and removing divisors, analogous to Kapranov's and Keel's constructions of M¯0,n from ¶n-3 and (¶1)n-3, respectively.

Résumé

Francis Brown a introduit une compactification partielle M0,nδ de l'espace de modules M0,n. Nous démontrons que la coopérade gravité, définie par la cohomologie (décalée en degré) des espaces M0,n, est colibre comme coopérade non symétrique anti-cyclique; de plus, les cogénérateurs sont donnés par les groupes de cohomologie de M0,nδ. La preuve construit une base explicite de H•(M0,n) en termes de diagrammes. Cette base est compatible avec la cocomposition coopéradique, et admet un sous-ensemble qui est une base de H•(M0,nδ). Nous montrons que nos résultats sont équivalents au fait que Hk(M0,nδ) a une structure de Hodge pure de poids 2k pour tout k, et nous donnons de plus dans notre article une seconde preuve, plus directe, de ce dernier fait. Cette seconde preuve utilise une construction itérative nouvelle et explicite de M0,nδ à partir de 𝔸n-3 par éclatements et enlèvements de diviseurs, qui est analogue aux constructions de Kapranov et Keel de M¯0,n, respectivement à partir de ℙn-3 et (ℙ1)n-3.

Détail

DOI : 10.24033/asens.2340

Classification : 14H10, 11G55, 55P48, 18D50, 14F40, 11M32
Keywords: Moduli of curves, mixed Hodge theory, operads, multiple zeta values, Koszul duality for operads.
Mots-clés : Espaces de modules des courbes, théorie de Hodge mixte, opérades, valeurs zêta multiples, dualité de Koszul des opérades.