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The canonical measure on a reductive p-adic group is motivic
[La mesure canonique sur un groupe réductif p-adique est motivique]
Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 50 (2017) no. 2, pp. 345-355
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Let G be a connected reductive group over a non-Archimedean local field. We prove that its parahoric subgroups are definable in the Denef-Pas language, which is a first-order language of logic used in the theory of motivic integration developed by Cluckers and Loeser. The main technical result is the definability of the connected component of the Néron model of a tamely ramified algebraic torus. As a corollary, we prove that the canonical Haar measure on G, which assigns volume 1 to the particular canonical maximal parahoric defined by Gross in [9], is motivic. This result resolves a technical difficulty that arose in [4] and [12, Appendix B] and permits a simplification of some of the proofs in those articles. It also allows us to show that formal degree of a compactly induced representation is a motivic function of the parameters defining the representation.

Soit G un groupe algébrique réductif connexe sur un corps local non-archimédien. Dans ce papier, nous démontrons que ses sous-groupes parahoriques sont définissables dans le langage de Denef-Pas, qui est le langage utilisé dans la théorie d'intégration motivique de Cluckers et Loeser. Notre résultat principal établit que la composante connexe du modèle de Néron d'un tore modérément ramifié est définissable. Ce résultat implique que la mesure canonique sur G (qui donne le volume 1 à un sous-groupe parahorique spécifique, défini par Gross [9]), est une mesure motivique. Ce résultat permet une simplification de quelques preuves dans [4] et [12, Appendix B]. Finalement, nous montrons que le degré formel des représentations supercuspidales dans une famille paramétrique est une fonction motivique des paramètres.

Publié le :
DOI : 10.24033/asens.2322
Classification : 22E50; 20G25, 14E18, 03C60.
Keywords: Néron models, Denef-Pas language, algebraic tori, canonical measure.
Mots-clés : Modèle de Néron, langage de Denef-Pas, tore algébrique, mesure canonique. 
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