Remarques sur le calcul symbolique dans certains espaces de Besov à valeurs vectorielles

Allaoui, Salah Eddine¹

¹Département de Mathématique et Informatique Université de Laghouat Laghouat 00003 Algérie

Annales mathématiques Blaise Pascal, Tome 16 (2009) no. 2, pp. 399-429

Résumé (VO)

Dans ce travail on s’intéresse aux opérateurs de composition $T_f\left(g\right):=f\circ g$ sur certains espaces de Besov et de Lizorkin-Triebel à valeurs dans ${ℝ}^m$. Dans le but de caractériser les fonctions qui opèrent, on établit que la condition de Lipschitz, locale ou globale suivant que l’espace $B_{p,q}^s({ℝ}^n,{ℝ}^m)$ ou $F_{p,q}^s({ℝ}^n,{ℝ}^m)$ se plonge ou non dans $L_{\infty }({ℝ}^n,{ℝ}^m)$, est nécessaire pour $s>0$, et que l’appartenance locale au même espace l’est aussi pour $m\le n$. Nous étudions enfin la régularité de l’opérateur $T_f$.

Abstract

We are interested in the superposition operators $T_f\left(g\right):=f\circ g$ on vector valued Besov and Lizorkin-Triebel spaces of positive smoothness exponent $s$. As a first step towards the characterization of functions which operate, we establish that the local Lipschitz continuity of $f$ is necessary if the space $B_{p,q}^s({ℝ}^n,{ℝ}^m)$ or $F_{p,q}^s({ℝ}^n,{ℝ}^m)$ is imbedded into $L_{\infty }({ℝ}^n,{ℝ}^m)$, and that the uniform Lipschitz continuity of $f$ is necessary if the space is not imbedded into $L_{\infty }({ℝ}^n,{ℝ}^m)$. We prove also that the local membership to the same space is necessary for $m\le n$. We finally study the regularity of the superposition operator $T_f$.

Détail

DOI : 10.5802/ambp.273

Classification : 46E35, 47H30
Mots-clés : Lizorkin-Triebel spaces, Besov spaces, Continuity and differentiability of superposition operators