Relation modules of finite groups and related topics

K. W. Roggenkamp

Algebra i logika, Tome 12 (1973) no. 3, pp. 351-359.

Résumé

Пусть $G$ — конечная группа, $d(G)$ — минимальное число ее порождающих и пусть $G$ изоморфна фактор-группе $F/R$, где $F$ — свободная группа с $d(G)$ порождающими. Группа $\overline{R}=R/[R,R]$, является $\mathbb{Z}G$-модулем относительно естественного действия $G$. Он называется минимальным модулем соотношений группы $G$. Если $p$ — максимальное проективное прямое слагаемое модуля $\overline{R}$, то модуль $Q\otimes_{\mathbb{Z}}P$ изоморфен прямой сумме $s$ экземпляров $\mathbb{Q}G$. Число $s=pr(G)$ не зависит от выбора минимального модуля соотношений. Доказывается, что $pr(G)=d(G)-\mu$, где $\mu$ — минимальное число $\mathbb{Z}G$-порождающих разностного идеала группового кольца $\mathbb{Z}G$. В качестве теоретико-группового следствия выводится, что $d(G)\leqslant\max(d(G_{p})+1)+pr(G)$, где $G_{p}$ пробегает силовские $p$-подгруппы по всем простым числам, делящим порядок $G$. В заключение дается оценка числа порождающих минимального модуля соотношений.