The Hilbert Scheme of Buchsbaum space curves

[Le schéma de Hilbert des courbes gauches de Buchsbaum]

Kleppe, Jan O.¹

¹Oslo and Akershus University College of Applied Sciences Faculty of Technology, Art and Design Pb. 4, St. Olavs plass N-0130 Oslo, Norway

Annales de l'Institut Fourier, Tome 62 (2012) no. 6, pp. 2099-2130

Abstract (VO)

We consider the Hilbert scheme $H(d,g)$ of space curves $C$ with homogeneous ideal $I\left(C\right):=H_{*}^0\left({ℐ}_C\right)$ and Rao module $M:=H_{*}^1\left({ℐ}_C\right)$. By taking suitable generizations (deformations to a more general curve) $C^{\prime }$ of $C$, we simplify the minimal free resolution of $I\left(C\right)$ by e.g making consecutive free summands (ghost-terms) disappear in a free resolution of $I\left(C^{\prime }\right)$. Using this for Buchsbaum curves of diameter one ($M_v\ne 0$ for only one $v$), we establish a one-to-one correspondence between the set $𝒮$ of irreducible components of $H(d,g)$ that contain $\left(C\right)$ and a set of minimal 5-tuples that specializes in an explicit manner to a 5-tuple of certain graded Betti numbers of $C$ related to ghost-terms. Moreover we almost completely (resp. completely) determine the graded Betti numbers of all generizations of $C$ (resp. all generic curves of $𝒮$), and we give a specific description of the singular locus of the Hilbert scheme of curves of diameter at most one. We also prove some semi-continuity results for the graded Betti numbers of any space curve under some assumptions.

Résumé

Nous considérons le schéma de Hilbert $H(d,g)$ des courbes $C$ dont l’idéal homogène est $I\left(C\right):=H_{*}^0\left({ℐ}_C\right)$ et le module de Rao $M:=H_{*}^1\left({ℐ}_C\right)$. En prenant des générisations (déformations) convenables $C^{\prime }$ de $C$ on simplifie la résolution minimale libre de $I\left(C\right)$. Par exemple, certains facteurs libres consécutifs vont disparaître dans une résolution libre de $I\left(C^{\prime }\right)$. En appliquant ceci à des courbes de Buchsbaum de diamètre 1 ($M_v\ne 0$ seulement pour une valeur de $v$), nous donnons une correspondance biunivoque entre l’ensemble $𝒮$ des composantes irréductibles de $H(d,g)$ qui contiennent $\left(C\right)$ et un ensemble des quintuplets minimaux, qui se spécialise à un quintuple de nombres de Betti gradués de $C$. De plus nous déterminons presque complétement les nombres de Betti gradués de toutes les générisations de $C$, et nous donnons une description du lieu singulier du schéma de Hilbert des courbes de diamètre au plus égal à 1. Nous démontrons aussi des résultats de sémi-continuité pour les nombres de Betti gradués des courbes.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2744

Classification : 14C05, 14H50, 14M06, 13D02, 13C40
Keywords: Hilbert scheme, space curve, Buchsbaum curve, graded Betti numbers, ghost term, linkage.
Mots-clés : schéma de Hilbert, courbe, courbe de Buchsbaum, nombre de Betti gradué.