Geodesic
On q-summation and confluence
[q-sommation et confluence]
Di Vizio, Lucia1 idref ; Zhang, Changgui2
1Institut de Mathématiques de Jussieu Topologie et géométrie algébriques, Case 7012 2, place Jussieu 75251 Paris Cedex 05 (France)
2Laboratoire P. Painleve U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées USTL, Cité scientifique 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex (France)
Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 1, pp. 347-392
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This paper is divided in two parts. In the first part we study a convergent q-analog of the divergent Euler series, with q∈(0,1), and we show how the Borel sum of a generic Gevrey formal solution to a differential equation can be uniformly approximated on a convenient sector by a meromorphic solution of a corresponding q-difference equation. In the second part, we work under the assumption q∈(1,+∞). In this case, at least four different q-Borel sums of a divergent power series solution of an irregular singular analytic q-difference equations are spread in the literature: under convenient assumptions we clarify the relations among them.

Cet article est divisé en deux parties. Dans la première partie, nous étudions un q-analogue convergent de la série d’Euler, pour q∈]0,1[, et nous prouvons que la somme de Borel d’une série Gevrey générique, solution d’une équation différentielle, peut être approchée uniformément, sur un secteur convenable, par la solution méromorphe d’une équation aux q-différences associée. Dans la deuxième partie, nous travaillons sous l’hypothèse q∈]1,+∞[. Dans ce cas, au moins quatre notions différentes de q-sommations ont été introduites dans la littérature : nous clarifions, sous des hypothèses raisonnables, les relations entre ces notions.

DOI : 10.5802/aif.2433
Classification : 34M30, 39A13, 33D05
Keywords: Summation, confluence, $q$-difference equations, Euler series
Mots-clés : sommation, confluence, équations aux $q$-différences, série d’Euler

Di Vizio, Lucia  1   ; Zhang, Changgui  2

1 Institut de Mathématiques de Jussieu Topologie et géométrie algébriques, Case 7012 2, place Jussieu 75251 Paris Cedex 05 (France)
2 Laboratoire P. Painleve U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées USTL, Cité scientifique 59655 Villeneuve d’Ascq Cedex (France) 
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TY  - JOUR
AU  - Di Vizio, Lucia
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TI  - On $q$-summation and confluence
JO  - Annales de l'Institut Fourier
PY  - 2009
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Di Vizio, Lucia; Zhang, Changgui. On $q$-summation and confluence. Annales de l'Institut Fourier, Tome 59 (2009) no. 1, pp. 347-392. doi: 10.5802/aif.2433

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