Resurgence of the Euler-MacLaurin summation formula

[Résurgence de la formule d’Euler-MacLaurin]

Costin, Ovidiu¹  ; Garoufalidis, Stavros²

¹Ohio State University Department of Mathematics 231 W 18th Avenue Columbus, OH 43210 (USA)
²Georgia Institute of Technology School of Mathematics Atlanta, GA 30332-0160 (USA)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 58 (2008) no. 3, pp. 893-914

Abstract (VO)

The Euler-MacLaurin summation formula compares the sum of a function over the lattice points of an interval with its corresponding integral, plus a remainder term. The remainder term has an asymptotic expansion, and for a typical analytic function, it is a divergent (Gevrey-1) series. Under some decay assumptions of the function in a half-plane (resp. in the vertical strip containing the summation interval), Hardy (resp. Abel-Plana) prove that the asymptotic expansion is a Borel summable series, and give an exact Euler-MacLaurin summation formula.

Using a mild resurgence hypothesis for the function to be summed, we give a Borel summable transseries expression for the remainder term, as well as a Laplace integral formula, with an explicit integrand which is a resurgent function itself. In particular, our summation formula allows for resurgent functions with singularities in the vertical strip containing the summation interval.

Finally, we give two applications of our results. One concerns the construction of solutions of linear difference equations with a small parameter. Another concerns resurgence of 1-dimensional sums of quantum factorials, that are associated to knotted 3-dimensional objects.

Résumé

La formule sommatoire d’Euler-MacLaurin exprime la somme d’une fonction sur un réseau de points d’un intervalle comme l’addition de l’intégrale correspondante et d’un reste. Dans les cas typiques, ce reste est donné par une série asymptotique divergente du type Gevrey-1. Sous des hypothèses adéquates de décroissance de la fonction dans le demi-plan supérieur ou sur une bande verticale contenant l’intervalle de sommation, Hardy et Abel-Plana ont prouvé que cette série asymptotique est Borel sommable. Supposant que la fonction à resommer est résurgente, notre théorème principal fournit une expression, pour le reste, à la fois sous forme d’une trans-série Borel sommable et, à la fois, sous forme d’une transformée de Laplace dont l’intégrand est explicite et lui-même donné par une fonction résurgente. Notre résultat s’applique au problème d’existence de solutions d’équations différentielles linéaires avec petit paramètre, ainsi qu’à celui de la résurgence des sommes unidimensionelles de factorielles quantiques associées à des objets noués en dimension 3.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2373

Classification : 34M30, 34M40
Keywords: Euler-MacLaurin summation formula, Abel-Plana formula, resurgence, resurgent functions, Bernoulli numbers, Borel transform, Borel summation, Laplace transform, transseries, parametric resurgence, co-equational resurgence, WKB, difference equations with a parameter, Stirling’s formula, Quantum Topology
Mots-clés : formule d’addition d’Euler-MacLaurin, Abel-Plana formule, fonctions résurgentes, topologie de quantum, Bernoulli numérote, Borel transforment, addition de Borel, Laplace transforment, des transseries, résurgence paramétrique, Co-equational résurgence, WKB, équations de différence avec un paramètre, La formule de Stirling.