Existence globale pour un fluide inhomogène

Abidi, Hammadi¹ ; Paicu, Marius² 

¹Université Paris 6 Laboratoire Jacques-Louis Lions 175, rue du Chevaleret 75013 Paris (France)
²Université Paris-Sud Laboratoire de Mathématiques Bât. 425 CNRS – UMR 8628 91405 Orsay (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 57 (2007) no. 3, pp. 883-917

Résumé (VO)

Dans cet article on s’intéresse à l’existence et l’unicité globale de solutions pour le système de Navier-Stokes à densité variable, lorsque la donnée initiale de la vitesse est dans l’espace de Besov homogène de régularité critique $B_{p,1}^{-1+\frac{N}{p}}\left({ℝ}^N\right)$. Notons que ce résultat fait suite aux résultats de H. Abidi qui a généralisé le travail de R. Danchin. Toutefois, dans les travaux antérieurs, l’existence de la solution est obtenue pour $1<p<2N$ et l’unicité est démontrée sous l’hypothèse plus restrictive $1<p\le N.$ Notre résultat répond à la question de l’existence pour tout $1<p<+\infty$ et de l’unicité dans la plage $1<p\le 2N.$ L’intérêt de ce théorème est qu’on obtient alors des espaces de régularité d’indices négatifs, dans lesquels toute donnée initiale devient petite en présence des fortes oscillations.

Abstract

In this article we are interested in the existence and global uniqueness of the solution for the equation of inhomogeneous fluid, when the initial velocity is in the critical homogeneous Besov space $B_{p,1}^{-1+\frac{N}{p}}\left({ℝ}^N\right)$. Let us note that this result followed upon the results of H. Abidi which generalized the work of R. Danchin. However, the existence of solutions is obtained when $1<p<2N$ and uniqueness is shown under more restrictive assumption $1<p\le N.$ Our result resolves the question of the existence for all $1<p<+\infty$ and uniqueness for $1<p\le 2N.$ As an interesting application of this theorem, we obtain global existence for oscillating initial data.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2280

Classification : 35Q30, 35B30, 76D03, 76D05
Mots-clés : équations de Navier-Stokes inhomogènes, existence globale, unicité
Keywords: nonhomogeneous Navier-Stokes equations, global existence, uniqueness