On the Number of Partitions of an Integer in the $m$-bonacci Base

[Sur le nombre de partitions d’un entier en base $m$-bonacci]

Edson, Marcia¹ ; Zamboni, Luca Q.¹

¹University of North Texas Department of Mathematics PO Box 311430 Denton, TX 76203-1430 (USA)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 7, pp. 2271-2283

Abstract (VO)

For each $m\ge 2,$ we consider the $m$-bonacci numbers defined by $F_k=2^k$ for $0\le k\le m-1$ and $F_k=F_{k-1}+F_{k-2}+\cdots +F_{k-m}$ for $k\ge m.$ When $m=2,$ these are the usual Fibonacci numbers. Every positive integer $n$ may be expressed as a sum of distinct $m$-bonacci numbers in one or more different ways. Let $R_m\left(n\right)$ be the number of partitions of $n$ as a sum of distinct $m$-bonacci numbers. Using a theorem of Fine and Wilf, we obtain a formula for $R_m\left(n\right)$ involving sums of binomial coefficients modulo $2.$ In addition we show that this formula may be used to determine the number of partitions of $n$ in more general numeration systems including generalized Ostrowski number systems in connection with Episturmian words.

Résumé

Pour $m\ge 2$, on définit les nombres de $m$-bonacci $F_k=2^k$ pour $0\le k\le m-1$ et $F_k=F_{k-1}+F_{k-2}+\cdots +F_{k-m}$ pour $k\ge m.$ Dans le cas $m=2,$ on retrouve les nombres de Fibonacci. Chaque entier positif $n$ s’écrit comme une somme distincte de nombres de $m$-bonacci d’une ou plusieurs façons. Soit $R_m\left(n\right)$ le nombre de partitions de $n$ en base $m$-bonacci. En utilisant un théorème de Fine et Wilf on déduit une formule pour $R_m\left(n\right)$ comme somme de coefficients binomiaux modulo $2.$ De plus, nous montrons que cette formule peut-être utilisée pour déterminer le nombre de partitions de $n$ dans des systèmes généraux de numération incluant les systèmes de nombres d’Ostrowski généralisés associés aux suites episturmiennes.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2240

Classification : 11B39, 11B50, 68R15
Keywords: Numeration systems, Fibonacci numbers, Fine and Wilf theorem, episturmian words
Mots-clés : systèmes de numération, nombres de Fibonacci, théorème de Fine et Wilf, suites episturmiennes