Specializations of one-parameter families of polynomials

[Spécialisation des familles à un paramètre de polynômes]

Hajir, Farshid¹  ; Wong, Siman¹

¹University of Massachusetts Department of Mathematics & Statistics Amherst, MA 01003-9318 (USA)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 56 (2006) no. 4, pp. 1127-1163

Abstract (VO)

Let $K$ be a number field, and suppose $\lambda (x,t)\in K[x,t]$ is irreducible over $K\left(t\right)$. Using algebraic geometry and group theory, we describe conditions under which the $K$-exceptional set of $\lambda$, i.e. the set of $\alpha \in K$ for which the specialized polynomial $\lambda (x,\alpha )$ is $K$-reducible, is finite. We give three applications of the methods we develop. First, we show that for any fixed $n\ge 10$, all but finitely many $K$-specializations of the degree $n$ generalized Laguerre polynomial $L_n^{\left(t\right)}\left(x\right)$ are $K$-irreducible and have Galois group $S_n$. Second, we study specializations of the modular polynomial ${\Phi }_n(x,t)$ (which vanishes on the $j$-invariants of pairs of elliptic curves related by a cyclic $n$-isogeny), and show that for any $n\ge 53$, all but finitely many of the $K$-specializations of ${\Phi }_n(x,t)$ are $K$-irreducible and have Galois group containing ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}/n)/\{\pm I\}$. Third, for a simple branched cover $\pi :Y\to {\mathbb{P}}_K^1$ of degree $n\ge 7$ and of genus at least $2$, all but finitely many $K$-specializations are $K$-irreducible and have Galois group $S_n$.

Résumé

Soient $K$ un corps de nombres et $\lambda (x,t)\in K[x,t]$ un polynôme irréductible sur $K\left(t\right)$. À partir de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes, nous donnons des conditions suffisantes pour que l’ensemble $K$-exceptionnel de $\lambda$, c’est-à-dire l’ensemble des éléments $\alpha$ de $K$ tels que $\lambda (x,\alpha )$ est réductible sur $K$, soit fini. Nos méthodes nous permettent alors de développer trois applications. Tout d’abord, nous obtenons que pour tout entier $n$ plus grand que $10$, à l’exception d’un nombre fini de cas, la $K$-spécialisation du polynôme de Laguerre généralisé $L_n^{\left(t\right)}\left(x\right)$ de degré $n$ est $K$-irréductible et a pour groupe de Galois $S_n$. Ensuite, nous étudions les spécialisations du polynôme modulaire ${\Phi }_n(x,t)$ (celui-ci s’annule en les $j$-invariants des paires de courbes elliptiques reliées entre elles par une $n$-isogénie cyclique). Nous montrons que pour tout $n\ge 53$, à l’exception d’un nombre fini de cas, les $K$-specialisations de ${\Phi }_n(x,t)$ sont $K$-irréductibles et ont un groupe de Galois contenant ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}/n)/\{\pm I\}$. Enfin, nous obtenons que pour un revêtement simple $\pi :Y\to {\mathbb{P}}_K^1$ de degré $n\ge 7$ et de genre au moins $2$, à l’exception d’un nombre fini de cas, les $K$-spécialisations de $\pi$ sont $K$-irréductibles et ont pour groupe de Galois $S_n$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.2208

Classification : 12H25, 11C08, 11G15, 11R09, 14H25, 33C45
Keywords: Branched cover, complex multiplication, Hilbert irreducibility, modular equation, orthogonal polynomial, rational point, Riemann-Hurwitz formula, simple cover, specialization
Mots-clés : revêtement ramifié, multiplication complexe, théorème d’irréductibilité d’Hilbert, équation modulaire, polynômes orthogonaux, point rationnel, formule de Riemann-Hurwitz, revêtement simple, spécialisation