À la recherche de petites sommes d'exponentielles

Fouvry, Étienne¹  ; Michel, Philippe²

¹Université Paris-Sud, Mathématiques, Bâtiment 425, 91405 Orsay Cedex (France)
²Université Montpellier II, Mathématiques, CC 051, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex (France)

Annales de l'Institut Fourier, Tome 52 (2002) no. 1, pp. 47-80

Résumé (VO)

Soit $f\left(x\right)$ une fraction rationnelle à coefficients entiers, vérifiant des hypothèses assez générales. On prouve l’existence d’une infinité d’entiers $n$, ayant exactement deux facteurs premiers, tels que la somme d’exponentielles ${\sum }_{x=1}^{n}exp\left(2\pi if\left(x\right)/n\right)$ soit en $O\left(n^{\frac{1}{2}-{\beta }_f}\right)$, où ${\beta }_f>0$ est une constante ne dépendant que de la géométrie de $f$. On donne aussi des résultats de répartition du type Sato-Tate, pour certaines sommes de Salié, modulo $n$, avec $n$ entier comme ci- dessus.

Abstract

Let $f\left(x\right)$ be a rational function, with integer coefficients, satisfying rather general assumptions. We prove the existence of infinitely many integers $n$, with exactly two prime divisors, such that the exponential sum ${\sum }_{x=1}^{n}exp\left(2\pi if\left(x\right)/n\right)$ is $O\left(n^{\frac{1}{2}-{\beta }_f}\right)$, where ${\beta }_f>0$ is a constant only depending on the geometrical data of $f$. We also give Sato-Tate type results for some Salié sums modulo $n$, with $n$ an integer as above.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1876

Classification : 11L05, 11L07, 11L20, 11T23, 14D05
Mots-clés : sommes d'exponentielles sur un corps fini, sommes de Kloosterman et de Salié, monodromie, loi de Sato-Tate, grand crible
Keywords: exponential sums over a finite field, Kloosterman and Salié sums, monodromy, Sato-Tate law, large sieve