On the complex geometry of invariant domains in complexified symmetric spaces

Neeb, Karl-Hermann 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 49 (1999) no. 1, pp. 177-225

Abstract (VO)

Let $M=G/H$ be a real symmetric space and $𝔤=𝔥+𝔮$ the corresponding decomposition of the Lie algebra. To each open $H$-invariant domain $D_{𝔮}\subseteq i𝔮$ consisting of real ad-diagonalizable elements, we associate a complex manifold $\Xi \left(D_{𝔮}\right)$ which is a curved analog of a tube domain with base $D_{𝔮}$, and we have a natural action of $G$ by holomorphic mappings. We show that $\Xi \left(D_{𝔮}\right)$ is a Stein manifold if and only if $D_{𝔮}$ is convex, that the envelope of holomorphy is schlicht and that $G$-invariant plurisubharmonic functions correspond to convex $H$-invariant functions on $D_{𝔮}$. Finally we apply these results to obtain an integral decomposition for $G$-invariant Hilbert spaces of holomorphic functions on $\Xi \left(D_{𝔮}\right)$.

Résumé

Soit $M=G/H$ un espace symétrique réel et $𝔤=𝔥+𝔮$ la décomposition correspondante de l’algèbre de Lie. À tout domaine ouvert et $H$-invariant $D_{𝔮}\subseteq i𝔮$ formé d’éléments réels ad-diagonalisables, on associe une variété complexe $\Xi \left(D_{𝔮}\right)$ qui est une généralisation non-linéaire d’un domaine tube à base $D_{𝔮}$ et nous avons une action naturelle de $G$ par des applications holomorphes. On montre que $\Xi \left(D_{𝔮}\right)$ est une variété de Stein si et seulement si $D_{𝔮}$ est convexe, que l’enveloppe d’holomorphie est schlicht et que les fonctions $G$-invariantes plurisousharmoniques correspondent aux fonctions $H$-invariantes convexes sur $D_{𝔮}$. Finalement on applique ces résultats pour démontrer l’existence d’une décomposition intégrale pour les espaces de Hilbert $G$-invariants de fonctions holomorphes sur $\Xi \left(D_{𝔮}\right)$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1671