Réseaux de Coxeter-Davis et commensurateurs

Haglund, Frédéric

Annales de l'Institut Fourier, Tome 48 (1998) no. 3, pp. 649-666

Abstract (VO)

For each integer $k\ge 6$ and each finite graph $L$, we construct a Coxeter group $W$ and a non positively curved polygonal complex $A$ on which $W$ acts properly cocompactly, such that each polygon of $A$ has $k$ edges, and the link of each vertex of $A$ is isomorphic to $L$. If $L$ is a “generalized $m$-gon”, then $A$ is a Tits building modelled on a reflection group of the hyperbolic plane. We give a condition on $\mathrm{Aut}\left(L\right)$ for $\mathrm{Aut}\left(A\right)$ to be non enumerable (which is satisfied if $L$ is a thick classical generalized $m$-gon). On the other hand, if $L$ has no loops of length 3 and if 4 divides $k$, we prove an arithmeticity property for $W$: the commensurator of $W$ in $\mathrm{Aut}\left(A\right)$ is dense in $\mathrm{Aut}\left(A\right)$.

Résumé

Pour tout entier $k\ge 6$ et tout graphe fini $L$, nous construisons un groupe de Coxeter $W$ et un complexe polygonal $A$ simplement connexe à courbure négative ou nulle, sur lequel $W$ agit proprement discontinûment, avec quotient compact, tel que chaque polygône de $A$ ait $k$ côtés, et le link de tout sommet de $A$ est isomorphe à $L$. Si $L$ est un “$m$-gone généralisé”, alors $A$ est un immeuble de Tits modelé sur un groupe de réflexion du plan hyperbolique. Nous donnons une condition sur $\mathrm{Aut}\left(L\right)$ pour que $\mathrm{Aut}\left(A\right)$ soit non discret, qui est satisfaite par exemple lorsque $L$ est un $m$-gone généralisé épais classique. Enfin, nous prouvons une propriété d’arithméticité de $W$ : le commensurateur de $W$ dans $\mathrm{Aut}\left(A\right)$ est dense dans $\mathrm{Aut}\left(A\right)$ si 4 divise $k$, et si $L$ n’a pas de lacets de longueur 3 (par exemple lorsque $L$ est un $m$-gone généralisé épais classique).

Détail

DOI : 10.5802/aif.1633