Flots d'Anosov sur les variétés graphées au sens de Waldhausen

Barbot, Thierry 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 46 (1996) no. 5, pp. 1451-1517

Résumé (VO)

Cet article est consacré à l’étude d’une large classe de flots d’Anosov sur les variétés graphées. Nous établissons un résultat général à propos des plongements de variétés de Seifert dans les variétés de dimension 3 admettant un flot d’Anosov produit, généralisant ainsi un résultat de E. Ghys. Nous montrons que, à isotopie près, la restriction du feuilletage unidimensionnel défini par le flot à l’image de ce plongement est topologiquement conjugué à un morceau de flot géodésique privé d’un nombre fini d’orbites périodiques. Nous montrons davantage : la conjugaison peut être choisie de sorte qu’elle préserve les restrictions des feuilletages faibles. Nous donnons ensuite une caractérisation topologique des exemples de Handel-Thurston. Il s’agit essentiellement des seuls flots d’Anosov sur les variétés graphées n’admettant aucune orbite périodique qui soit librement homotope aux fibres d’une variété de Seifert plongée dans la variété graphée. Enfin, nous donnons les premiers exemples connus de variétés graphées qui ne sont ni des variétés de Seifert, ni des fibrés en tores sur le cercle, dont les groupes fondamentaux sont à croissance exponentielle, et qui ne supportent pas de flot d’Anosov.

Abstract

This paper is devoted to the study of a wide class of Anosov flows on graph manifolds. We establish a general result about embeddings of Seifert manifolds in 3-dimensional manifolds admitting a product Anosov flow, generalizing a previous result of E. Ghys. We show that up to isotopy the restriction of the one-dimensional foliation defined by the flow to the image of this embedding is topologically conjugate to a piece of a geodesic flow outside a finite number of periodic orbits. We show more: the conjugacy can be chosen such that it respects the restrictions of the weak foliations. We next give a topological characterization of the examples of Handel-Thurston. Essentially, they are the unique Anosov flows on graph manifolds such that no periodic orbit is freely homotopic to the fiber of some embedded Seifert manifold in the graph manifold. Eventually, we exhibit the first known examples of graph manifolds which are not Seifert spaces nor torus bundles over the circle, whose fundamental groups are of exponential growth and admitting no Anosov flow.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1556