Constructive invariant theory for tori

Wehlau, David 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 43 (1993) no. 4, pp. 1055-1066

Abstract (VO)

Consider a rational representation of an algebraic torus $T$ on a vector space $V$. Suppose that $\{f_1,\cdots ,f_p\}$ is a homogeneous minimal generating set for the ring of invariants, $\mathbf{k}[V{]}^T$. New upper bounds are derived for the number $N_{V,T}:=\max \{\mathrm{deg}{f}_i\}$. These bounds are expressed in terms of the volume of the convex hull of the weights of $V$ and other geometric data. Also an algorithm is described for constructing an (essentially unique) partial set of generators $\{f_1,\cdots ,f_s\}$ consisting of monomials and such that $\mathbf{k}[V{]}^T$ is integral over $k[f_1,\cdots ,f_s]$.

Résumé

Considérons une représentation rationnelle d’un tore algébrique $T$ sur un espace vectoriel $V$. Soit $\{f_1,\cdots ,f_p\}$ un ensemble générateur homogène minimal pour l’anneau des invariants $\mathbf{k}[V{]}^T$. De nouvelles bornes supérieures sont établies pour le nombre $N_{V,T}:=\max \{\mathrm{deg}{f}_i\}$. Ces bornes sont exprimées en termes du volume de l’enveloppe convexe des poids de $V$ et d’autres données géométriques. De plus on décrit un algorithme pour construire un ensemble partiel (essentiellement unique) $\{f_1,\cdots ,f_s\}$ dont les éléments sont des monômes et tel que $\mathbf{k}[V{]}^T$ soit intègre sur $k[f_1,\cdots ,f_s]$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1364