Characterization of the linear partial differential operators with constant coefficients that admit a continuous linear right inverse

Taylor, B. A. ; Meise, R.  ; Vogt, Dietmar 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 40 (1990) no. 3, pp. 619-655

Abstract (VO)

Solving a problem of L. Schwartz, those constant coefficient partial differential operators $P\left(D\right)$ are characterized that admit a continuous linear right inverse on $ℰ\left(\Omega \right)$ or ${𝒟}^{\prime }\left(\Omega \right)$, $\Omega$ an open set in ${\mathbf{R}}^n$. For bounded $\Omega$ with $C^1$-boundary these properties are equivalent to $P\left(D\right)$ being very hyperbolic. For $\Omega ={\mathbf{R}}^n$ they are equivalent to a Phragmen-Lindelöf condition holding on the zero variety of the polynomial $P$.

Résumé

Nous résolvons complètement un problème de L. Schwartz sur la caractérisation des opérateurs différentiels aux dérivées partielles $P\left(D\right)$, à coefficients constants sur un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$, qui admettent un inverse à droite linéaire continu sur $ℰ\left(\Omega \right)$ ou ${𝒟}^{\prime }\left(\Omega \right)$. Si $\Omega$ est borné à frontière de classe $C^1$, ces propriétés sont équivalentes à une hyperbolicité très forte de $P\left(D\right)$. Si $\Omega ={\mathbf{R}}^n$, elles sont équivalentes à la validité d’un principe du type de Phragmén-Lindelöf sur la variété des zéros du polynôme $P$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1226