On functions with bounded remainder

Hellekalek, P.  ; Larcher, Gerhard 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 39 (1989) no. 1, pp. 17-26

Abstract (VO)

Let $T:ℝ/\mathbb{Z}\to ℝ/\mathbb{Z}$ be a von Neumann-Kakutani $q$- adic adding machine transformation and let $\phi \in C^1\left(\right[0,1\left]\right)$. Put

$${\phi }_n\left(x\right):=\phi \left(x\right)+\phi \left(Tx\right)+...+\phi (T^{n-1}x),x\in ℝ/\mathbb{Z},n\in \mathbb{N}.$$

We study three questions:

1. When will $\left({\phi }_n\right(x){)}_{n\ge 1}$ be bounded?

2. What can be said about limit points of $\left({\phi }_n\right(x){)}_{n\ge 1}?$

3. When will the skew product $(x,y)\mapsto (Tx,y+\phi (x\left)\right)$ be ergodic on $ℝ/\mathbb{Z}\times ℝ?$

Résumé

Soit $T:ℝ/\mathbb{Z}\to ℝ/\mathbb{Z}$ une transformation du type Neumann-Kakutani en base $q$ et soit $\phi \in C^1\left(\right[0,1\left]\right)$. Posons, pour $x\in ℝ/\mathbb{Z}$, $n\in \mathbb{N}$,

$${\phi }_n\left(x\right):=\phi \left(x\right)+\phi \left(Tx\right)+\cdots +\phi (T^{n-1}x).$$

Nous étudions les trois questions suivantes :

1. Pour la suite $\left({\phi }_n\right(x){)}_{n\ge 1}$ : à quelles conditions sera-t-elle bornée ?

2. Que peut-on dire sur les points d’adhérence de $\left({\phi }_n\right(x){)}_{n\ge 1}?$

3. Pour le produit croisé $(x,y)\mapsto (Tx,y+\phi (x\left)\right)$ sur le cylindre $ℝ/\mathbb{Z}\times ℝ$ : à quelles conditions sera-t-il ergodique ?

Détail

DOI : 10.5802/aif.1156