Fourier coefficients of continuous functions and a class of multipliers

Kislyakov, Serguei V.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 38 (1988) no. 2, pp. 147-183

Abstract (VO)

If $x$ is a bounded function on $\mathbf{Z}$, the multiplier with symbol $x$ (denoted by $M_x)$ is defined by $(M_{x}f)\widehat{}=x\widehat{f}$, $f\in L^2\left(\mathbf{T}\right)$. We give some conditions on $x$ ensuring the “interpolation inequality” $\parallel M_{x}f{\parallel }_{L^p}\le C\parallel f{\parallel }_{L^1}^{\alpha }\parallel M_{x}f{\parallel }_{L^q}^{1-\alpha }$ (here $1<p<q$ and $\alpha =\alpha (p,q,x)$ is between 0 and 1). In most cases considered $M_x$ fails to have stronger $L^1$-regularity properties (e.g. fails to be of weak type (1,1)). The results are applied to prove that for many sets $E\subset \mathbf{Z}$ every positive sequence in ${\ell }^2\left(E\right)$ can be majorized by the sequence $\{$ $\left|\widehat{f}\left(n\right)\right|{\}}_{n\in E}$ for some continuous funtion $f$ with spectrum in $E$.

Résumé

Soit $x$ une fonction bornée sur $\mathbf{Z}$ ; on définit le multiplicateur avec un symbole $x$ (noté par $M_x$) par $(M_{x}f)\widehat{}=x\widehat{f}$, $f\in L^2\left(\mathbf{T}\right)$. On étudie des conditions sur $x$ qui garantissent “l’inégalité interpolationnelle” $\parallel M_{x}f{\parallel }_{L^p}\le C\parallel f{\parallel }_{L^1}^{\alpha }\parallel M_{x}f{\parallel }_{L^q}^{1-\alpha }$ (ici $1<p<q$, $\alpha =\alpha (p,q,x)$ est entre 0 et 1 et $C$ ne dépend pas de $f$). Cette inégalité exprime une sorte de régularité de $M_x$ sur $L^1\left(\mathbf{T}\right)$. (Pour la plupart les multiplicateurs en question ne sont pas de type faible (1,1).) On utilise ces résultats pour démontrer qu’il y a bien des sous-ensembles $E$ de $\mathbf{Z}$ tels que chaque suite positive dans $l^2\left(E\right)$ puisse être majorée par la suite $\left\{\right|\widehat{f}\left(n\right)|{\}}_{n\in E}$ pour une fonction continue $f$ dont le spectre soit inclus dans $E$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1138