Meilleure approximation polynomiale et croissance des fonctions entières sur certaines variétés algébriques affines

Zeriahi, Ahmed 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 37 (1987) no. 2, pp. 79-104

Résumé (VO)

Soit $K$ un compact polynomialement convexe de ${\mathbf{C}}^n$ et $V_K$ son “potentiel logarithmique extrémal” dans ${\mathbf{C}}^n$. Supposons que $K$ est régulier (i.e. $V_K$ continue) et soit $f$ une fonction holomorphe sur un voisinage de $K$. On construit alors une suite $\{{\mathbf{P}}_{\ell }{\}}_{\ell \ge 1}$ de polynôme de $n$ variables complexes avec deg$({\mathbf{P}}_{)}\le \ell$ pour $\ell \ge 1$, telle que l’erreur d’approximation ${\max }_{z\in K}|f\left(z\right)-P_{\ell }\left(z\right)|$ soit contrôlée de façon assez précise en fonction du “pseudorayon de convergence” de $f$ par rapport à $K$ et du degré de convergence $\ell$. Ce résultat est ensuite utilisé pour étendre à ${\mathbf{C}}^n$ un résultat classique de S.N. Bernstein liant le prolongement analytique d’une fonction continue sur $K$ par une fonction entière d’ordre et de type donnés au comportement asymptotique de l’erreur de la meilleure approximation polynomiale de $f$ sur $K$.

Abstract

Let $K$ be a polynomially convex compact set of ${\mathbf{C}}^n$ and $V_K$ its “logarithmic extremal potential” in ${\mathbf{C}}^n$. Suppose that $K$ is regular (e.g. $V_K$ continuous) and let $f$ be a holomorphic function on a neightborhood of $K$. We construct a sequence $\{{\mathbf{P}}_{\ell }{\}}_{\ell \ge 1}$ of polynomials in $n$ complex variables with deg$({\mathbf{P}}_{)}\le \ell$ for every $\ell \ge 1$, such that the approximation error ${\max }_{z\in K}|f\left(z\right)-P_{\ell }\left(z\right)|$ is estimated in terms of the “pseudoradius of convergence” of $f$ with respect to $K$ and the degree of convergence $\ell$. This result is then used to extend to ${\mathbf{C}}^n$ the classical S.N. Bernstein’s result relating the prolongation of a continuous function on $K$ by an entire function of given order and type to the best polynomial approximation error of $f$ on $K$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1087