Local-to-global extensions of representations of fundamental groups

Katz, Nicholas M. 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 4, pp. 69-106

Abstract (VO)

Let $K$ be a field of characteristic $p>0$, $C$ a proper, smooth, geometrically connected curve over $K$, and 0 and $\infty$ two $K$-rational points on $C$. We show that any representation of the local Galois group at $\infty$ extends to a representation of the fundamental group of $C-\{0,\infty \}$ which is tamely ramified at 0, provided either that $K$ is separately closed or that $C$ is ${\mathbf{P}}^1$. In the latter case, we show there exists a unique such extension, called “canonical”, with the property that the image of the geometric fundamental group has a unique $p$-Sylow subgroup. As an application, we give a global cohomological construcion of the Swan representation in equal characteristic.

Résumé

Soit $K$ un corps de caractéristique $p>0$, $C$ une courbe propre, lisse, et géométriquement connexe sur $K$, et $0$, $\infty$ deux points $K$-rationnels de $C$. On montre que toute représentation du groupe de Galois local à l’infini se prolonge en une représentation du groupe fondamental de $C-\{0,\infty \}$ qui est modérément ramifiée en $0$, sous l’hypothèse que soit $K$ est séparablement clos, soit que $C$ est ${\mathbf{P}}^1$. Dans ce dernier cas, on montre qu’il existe un seul tel prolongement, dit “canonique”, avec la propriété que l’image du groupe fondamental géométrique ait un seul $p$-sous-groupe de Sylow. Comme application, on donne une construction cohomologique globale de la représentation de Swan dans le cas d’égale caractéristique.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1069