Non prolongement unique des solutions d'opérateurs «somme de carrés»

Bahouri, Hajer 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 36 (1986) no. 4, pp. 137-155

Résumé (VO)

Dans ce travail, nous avons montré que si $P={\sum }_{i=1}^{n-1}{x}_i^2$, où les $x_i$ sont des champs de vecteurs $C^{\infty }$ linéairement independants dans un ouvert $\Omega$ de ${\mathbf{R}}^n$ tels que l’algèbre de Lie qu’ils engendrent soit de rang maximum en tout point et la forme volume qu’on leur associe soit de classe 4 en un point $x_0$ de $\Omega$, alors il existe un voisinage ouvert $V$ de $x_0$ et une fonction $a\in C^{\infty }\left(V\right)$ tels que $P+a$ possède pas la propriété de prolongement unique.

Abstract

Let $\left(x_i\right)$, $i=1,...,n-1$ be $C^{\infty }$ linearly independent vector fields on an open set $\Phi$ of ${\mathbf{R}}^n$. Assume that the Lie algebra generated by these fields is of maximal rank at every point of $\Omega$ and that the volume form associated to them is of class 4 at a point $x_0$ of $\Omega$. We show then that if $P$ is the operator $P={\sum }_{i=1}^{n-1}{x}_i^2$, there exists an open neighborhood $V$ of $x_0$ and a function $a\in C^{\infty }\left(V\right)$ such that $P+a$ does not enjoy the uniqueness extension property.

Détail

DOI : 10.5802/aif.1071