L'anneau de Milnor d'un corps local à corps résiduel parfait

Kahn, Bruno 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 34 (1984) no. 4, pp. 19-65

Résumé (VO)

Soit $K$ un corps complet pour une valuation discrète, de corps résiduel $k$. Lorsque $k$ est fini, la structure de $K_2\left(K\right)$ a été déterminée par C.C. Moore, J.E. Carroll et A.S. Merkurjev. On généralise ici leurs résultats au cas où $k$ est parfait de caractéristique positive $p$. Les résultats principaux sont : $p^n{K}_2\left(K\right)$ est $p$-divisible pour $n$ assez grand (explicite); le groupe $K_2^{\mathrm{top}}\left(K\right)$ de Milnor est discret, explicitement déterminé ; $K_2\left(K\right)$ n’a pas de torsion première à $p$, et sa $p$-torsion est explicitement déterminée. On obtient également des résultats sur les groupes de Milnor $K_m\left(K\right)$; en particulier, lorsque $m\ge 3$, ce groupe est $p$-divisible sans $p$-torsion.

Abstract

Let $K$ be a complete discrete valuation field with residue field $k$. When $k$ is perfect, the structure of $K_2\left(K\right)$ has been determined by C.C. Moore, J.E. Carroll and A.S. Merkurjev. Their results are here generalized to the case when $k$ is perfect with positive characteristic $p$. Main results are: $p^n{K}_2\left(K\right)$ is $p$-divisible for large enough (explicit) $n$; Milnor’s group $K_2^{\mathrm{top}}\left(K\right)$ is discrete, explicitly determined; $K_2\left(K\right)$ has no prime to $p$ torsion, and its $p$-torsion is explicitly determined; Results on Milnor’s $K$-groups $K_m\left(K\right)$ are obtained as well: in particular, when $m\ge 3$, this group is $p$-divisible and has no $p$-torsion.

Détail

DOI : 10.5802/aif.987