La $g$-fonction de Littlewood-Paley associée à un opérateur différentiel singulier sur $(0,\infty )$

Achour, A. ; Trimeche, K. 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 33 (1983) no. 4, pp. 203-226

Résumé (VO)

Dans son livre [H. Stein, Ann. of Math. Studies, 63, Princeton Univ. Press, (1970)] E. Stein associe à tout opérateur de Sturm-Liouville la $g$-fonction de Littlewood-Paley et conjecture que, pour tout $p$ dans l’intervalle $]1,\infty [$, il existe deux constantes $C_p$ et $D_p$ telles que :

$$C_p\parallel f{\parallel }_p\le \parallel g\left(f\right){\parallel }_p\le D_p\parallel f{\parallel }_p.$$

On démontre ces inégalités pour une classe d’opérateurs différentiels singuliers sur $]0,\infty [$ et on énonce alors un résultat sur les multiplicateurs concernant ces opérateurs.

Abstract

In [H. Stein, Ann. of Math. Studies, 63, Princeton Univ. Press, (1970)] E. Stein associates to any Sturm-Liouville operator the Littlewood-Paley’s $g$-function and does the conjecture that for any $p$ in the interval $]1,+\infty [$ there exist two constants $C_p$ and $D_p$ such that:

$$C_p\parallel f{\parallel }_p\le \parallel g\left(f\right){\parallel }_p\le D_p\parallel f{\parallel }_p.$$

We prove these inequalities for a class of singular differential operators on $]0,+\infty [$ and we state then a result on multiplicators for these operators.

Détail

DOI : 10.5802/aif.946