Quotients de fonctions définies-négatives et synthèse spectrale

Hirsch, Francis

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 4, pp. 75-96

Résumé (VO)

On considère l’espace $E=L^2({\Psi }_2.{\Psi }_1^{-1}dx)$ où ${\Psi }_2$ et ${\Psi }_1$ sont deux fonctions définies-négatives, réelles et continues sur ${\mathbf{R}}^n$. On étudie la possibilité d’approcher, au sens de la norme de $E$, tout élément $\varphi$ de $E$ par des combinaisons linéaires d’éléments de $E$ qui sont transformés de Fourier de mesures positives de support inclus dans le spectre de $\varphi$. Des méthodes de théorie du potentiel permettent de donner une réponse positive (sous certaines hypothèses additionnelles). On obtient ainsi des généralisations, au cas de ${\mathbf{R}}^n$, de résultats démontrés par Beurling-Deny dans le cas du tore $\mathbf{T}$.

Abstract

We consider the space $E=L^2({\Psi }_2.{\Psi }_1^{-1}dx)$ where ${\Psi }_2$ and ${\Psi }_1$ are two real and continuous negative-definite functions on ${\mathbf{R}}^n$. We study the following problem: Can we approximate, with respect to the norm of $E$, each element $\varphi$ of $E$ by linear combinations of elements of $E$ which are Fourier transforms of positive measures having their support included in the spectrum of $\varphi$? Using potential theory’s methods, we give an affirmative answer (under some additional hypothesis), and thus we extend to the case of ${\mathbf{R}}^n$ results which were proved by Beurling-Deny in the case of the torus $\mathbf{T}$.

Détail

DOI : 10.5802/aif.809