Galois module structure of rings of integers

Taylor, Martin J. 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 30 (1980) no. 3, pp. 11-48

Abstract (VO)

Let $E/F$ be a Galois extension of number fields with $\Gamma =$ Gal$(E/F)$ and with property that the divisors of $(E:F)$ are non-ramified in $E/\mathbf{Q}$. We denote the ring of integers of $E$ by ${𝒪}_E$ and we study ${𝒪}_E$ as a $\mathbf{Z}\Gamma$-module. In particular we show that the fourth power of the (locally free) class of ${𝒪}_E$ is the trivial class. To obtain this result we use Fröhlich’s description of class groups of modules and his representative for the class of ${ℰ}_E$, together with new determinantal congruences for cyclic group rings and corresponding congruences for Gauss sums.

Résumé

Soit $E/F$ une extension galoisienne de corps de nombres où les diviseurs de $(E:F)$ sont non-ramifiés dans $E/\mathbf{Q}$. On note $\Gamma =\mathrm{Gal}(E/F)$ et ${𝒪}_E$ l’anneau des entiers de $E$. Nous considérons ${𝒪}_E$ comme $\mathbf{Z}\Gamma$-module et nous démontrons que la quatrième puissance de la classe (localement libre) de ${𝒪}_E$ est la classe triviale. Afin de démontrer ce résultat, nous utilisons la description de Fröhlich des groupes de classes de modules et son représentant pour la classe des ${𝒪}_E$. De plus, nous développons une nouvelle méthode de congruences sur les déterminants pour les algèbres des groupes cycliques et nous démontrons des congruences correspondantes pour les sommes de Gauss.

Détail

DOI : 10.5802/aif.791