Discrépance de la suite $\left(\left\{n\alpha \right\}\right),\alpha =(1+\sqrt{5})/2$

Dupain, Yves 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 1, pp. 81-106

Résumé (VO)

Soit $D^{*}\left(N\right)$ la discrépance “à l’origine” de la suite $\left(\left\{n\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\right)$. Nous montrons que $lim\; sup\frac{D^{*}\left(N\right)}{\mathrm{Log}N}=\frac{3}{20}{\left(\mathrm{Log}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{-1}=0.31\cdots$, quantité inférieure à celle correspondant à la suite de van der Corput. Les techniques utilisées sont celles liées au développement en fraction continue.

Abstract

Let $D^{*}\left(N\right)$ be the star-discrepancy of the sequence $\left(\left\{n\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\right)$. We show that $lim\; sup\frac{D^{*}\left(N\right)}{\mathrm{Log}N}=\frac{3}{20}{\left(\mathrm{Log}\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^{-1}=0.31\cdots$, which illustrates the fact that our sequence has smaller star-discrepancy than that of van der Corput’s sequence. Our proofs involve continued fraction theory.

Détail

DOI : 10.5802/aif.728