Quelques exemples de feuilletages espèces rares

Hector, Gilbert 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 1, pp. 239-264

Résumé (VO)

On répartit habituellement les feuilles d’un feuilletage de codimension 1 sur une variété $M$ en trois types :

i) feuilles propres i.e. ouvertes dans leur adhérence ;

ii) feuilles localement denses ;

iii) feuilles exceptionnelles i.e. ni propres, ni localement denses.

Lorsque le mélange des feuilles des divers types dans un même feuilletage est suffisamment complexe, on dit qu’on a affaire à un feuilletage “espèce rare". Le but du présent travail est alors de constituer une sorte d’“herbier des espèces rares" sur $M=R^3$ ou $M=V\times S^1$ (où $V$ désigne la surface compacte de genre 2). Mais si toutes les espèces rares sont réalisées sur $R^3$ en classe $C^{\infty }$, il ne nous a été possible de réaliser certaines d’entre elles qu’en classe $C^0$ sur $V\times S^1$. En particulier reste ouvert le problème de savoir s’il existe en classe $C^2$, sur une variété compacte, des feuilletages dont toutes les feuilles soient exceptionnelles.

Abstract

Usually, the leaves of a codimension 1 foliation on a manifold $M$ are classified into three types:

i) proper leaves;

ii) leaves which are locally dense;

iii) exceptional leaves i.e. leaves which are neither proper nor locally dense.

If for a given foliation, leaves of different types are very strongly mixed the foliation is said to be a “rare species”. Here we are interested in making an exhaustive collection of rare species on $M=R^3$ or $M=V\times S^1$ (where $V$ is the compact surface of genus 2). In $R^3$ all the rare species are of class $C^{\infty }$ whereas some of them on $V\times S^1$ have only been constructed here in class $C^0$.

In particular, it is an open question whether there exists on a compact manifold a foliation of class $C^2$ with all the leaves exceptional.

Détail

DOI : 10.5802/aif.606