Potentiel markovien récurrent des chaînes de Harris

Neveu, Jacques 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 2, pp. 85-130

Résumé (VO)

Nous montrons que toute probabilité de transition sur un espace mesurable correspondant à une chaîne de Markov vérifiant la condition de récurrence de Harris, admet au moins un opérateur potentiel positif ; à partir de là, nous développons une théorie du “potentiel logarithmique” pour ces probabilités de transition, en étudiant notamment de manière approfondie un cône de fonctions dites spéciales.

Abstract

Given a transition probability $P=\left(P\right(x,A);x\in E,A\in 𝒜)$ on a separable measurable space $(E,)$, we study minorations of the form

$$U_h(x,dy)\ge a\left(x\right)m\left(dy\right)$$

for the potential operators $U_h={\sum }_{\mathbf{N}}(P{M}_{1-h}{)}^{n}P$, where $h$ denotes a measurable function from $E$ to $(0,1)$ and where $M_k$ is the multiplication operator by $k$. We show for instance that if $P$ verifies Harris’ recurrence relation, then there exists a strictly positive $h$ for which $U_h\ge 1\otimes \mu$, where $\mu$ is the $P$-invariant measure. This result allows us 1) to define positive $\sigma$-finite potential operators in this recurrent case that satisfy the usual principles of potential theory 2) to solve the Poisson equations for functions of for measures in a more general and more natural setting than before. The extension of these results to resolvents is briefly indicated at the end.

Détail

DOI : 10.5802/aif.414