Espaces variationnels et mécanique

Klein, Joseph 

Annales de l'Institut Fourier, Tome 12 (1962), pp. 1-124

Résumé

Ce travail est essentiellement consacré aux systèmes dynamiques $\Sigma$ non conservatifs, la force généralisée dépendant à la fois des paramètres de position $x^{\alpha }$ et de vitesse $y^{\alpha }$.

$V$ désignant l’espace-temps de configuration, $\mathbf{V}$ l’espace fibré des vecteurs tangents, $W$ celui des directions tangentes à $V$, on caractérise $\Sigma$ par son lagrangien homogène $L$ et le tenseur-force $S$ antisymétrique dont le produit contracté par le vecteur vitesse donne le vecteur force généralisé.

Dans la première partie, on étudie l’algèbre $H$ des formes semi-basiques sur $\mathbf{V}$ ou $W$ ; on définit en particulier une antidérivation $\dot{d}$, endomorphisme de degré 1 de $H$, intervenant dans le calcul variationnel classique. On introduit ensuite la notion de $S$-extrémale de $L$ relativement au champ tensoriel semi-basique $S$ et on considère sur $V$ une connexion linéaire de directions se ramenant pour $S=0$ à la connexion finslérienne définie par $L$, et dont les géodésiques sont les $S$-extrémales de $L$.

Dans la deuxième partie, on montre que le système des équations du mouvement est le système associé de la 2-forme :

$$\Omega =d(\dot{d}L)+\frac{1}{2}{S}_{\alpha \beta }d{x}^{\alpha }\wedge d{x}^{\beta }.$$

On en déduit le théorème généralisant le théorème classique d’E. Cartan : la différence des circulations du vecteur vitesse le long de deux 1-cycles homotopes $C_0$ et $C_1$ entourant un même tube de trajectoires $\mathbf{T}$ est égale au flux du tenseur-force à travers la 2-chaîne de $\mathbf{T}$ de bord $C_0-C_1$.

Les trajectoires de $\Sigma$ sont les $S$-extrémales de $L$ (principe d’Hamilton généralisé) ou les géodésiques d’un espace $S$-finslérien.

Étude des cas où $\Omega$ est fermée et où $\Omega$ admet un facteur intégrant.

Les systèmes dynamiques à liaisons non holonomes parfaites sont caractérisés par le principe de moindre courbure.

Dans le dernier chapitre, on montre l’intérêt qu’il y a en Relativité Générale d’introduire la notion de tenseur-force.

Détail

DOI : 10.5802/aif.120