Rough controls for Schrödinger operators on 2-tori

[Contrôles peu réguliers pour l’Equation de Schrödinger sur les tores de dimension $2$]

Burq, Nicolas¹ ; Zworski, Maciej²

¹Université Paris Sud, Université Paris-Saclay CNRS Mathématiques Bât. 307 91405 Orsay Cedex (France)
²Mathematics Department University of California Berkeley, CA 94720 (USA)

Annales Henri Lebesgue, Tome 2 (2019), pp. 331-347

Abstract (VO)

The purpose of this note is to use the results and methods of [BBZ13] and [BZ12] to obtain control and observability by rough functions and sets on 2-tori, ${𝕋}^2={ℝ}^2/\mathbb{Z}\oplus \gamma \mathbb{Z}$. We show that for a non-trivial $W\in L^{\infty }\left({𝕋}^2\right)$, solutions to the Schrödinger equation, $(i{\partial }_t+\Delta )u=0$, satisfy ${\parallel u|}_{t=0}{\parallel }_{L^2\left({𝕋}^2\right)}\le K_T{\parallel Wu\parallel }_{L^2([0,T]\times {𝕋}^2)}$. In particular, any set of positive Lebesgue measure can be used for observability. This leads to controllability with localization functions in $L^2\left({𝕋}^2\right)$ and controls in $L^4([0,T]\times {𝕋}^2)$. For continuous $W$ this follows from the results of Haraux [Har89] and Jaffard [Jaf90], while for ${𝕋}^2={ℝ}^2/{\left(2\pi \mathbb{Z}\right)}^2$ (the rational torus) and $T>\pi$ this can be deduced from the results of Jakobson [Jak97].

Résumé

On se propose dans cette note d’utiliser les résultats et les méthodes de [BBZ13] et [BZ12] pour obtenir des résultats de contrôle et de stabilisation par des fonctions de localisation peu régulières sur les tores de dimension $2$, ${𝕋}^2={ℝ}^2/\mathbb{Z}\oplus \gamma \mathbb{Z}$. On démontre que pour toute fonction $W\in L^{\infty }\left({𝕋}^2\right)$ non triviale, les solutions de l’équation de Schrödinger, $(i{\partial }_t+\Delta )u=0$, vérifient ${\parallel u|}_{t=0}{\parallel }_{L^2\left({𝕋}^2\right)}\le K_T{\parallel Wu\parallel }_{L^2([0,T]\times {𝕋}^2)}$. En particulier tout ensemble de mesure de Lebesgue strictement positive suffit pour l’observabilité. On en déduit des résultats de contrôlabilité exacte par des fonctions de localisation dans $L^2\left({𝕋}^2\right)$ et des contrôles dans $L^4([0,T]\times {𝕋}^2)$. Pour des $W$ continus, ce résultat est conséquence des travaux de Haraux [Har89] and Jaffard [Jaf90], tandis que pour ${𝕋}^2={ℝ}^2/{\left(2\pi \mathbb{Z}\right)}^2$ (le tore rationnel) et $T>\pi$ on peut obtenir ce résultat comme conséquence des travaux de Jakobson [Jak97].

Détail

Reçu le : 2018-05-11
Révisé le : 2018-12-04
Accepté le : 2019-02-22
Première publication : 2019-07-02
Publié le : 2019-07-01
DOI : 10.5802/ahl.19

Classification : 35Q41, 35Q93, 49J20, 81Q93
Keywords: Schrödinger equation, control/observability for PDE, semiclassical analysis

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