Casoratien et équations aux différences $p$-adiques

Bézivin, Jean-Paul

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 22 (2013) no. 3, pp. 495-523

Résumé (VO)

Dans cet article, nous démontrons une inégalité liant la croissance d’un casoratien généralisé de $m$ séries entières $p$-adique à la croissance du casoratien ordinaire de ces $m$ séries entières. Il en résulte que si le casoratien de $m$ fonctions entières $p$-adiques est un polynôme non nul, alors toutes ces fonctions sont des polynômes. Comme application, nous montrons que si une équation aux différences linéaire d’ordre $t$ à coefficients dans ${ℂ}_p\left[x\right]$ a $t$ solutions méromorphes dans tout ${ℂ}_p$, linéairement indépendantes sur ${ℂ}_p$, alors elle a $t$ solutions fractions rationnelles linéairement indépendantes. C’est aussi le cas si l’équation aux différences est à coefficients dans $\mathbb{Q}\left[x\right]$, et si, pour une infinité de nombres premiers $p$, elle a $t$ solutions méromorphes, linéairement indépendantes sur ${ℂ}_p$, dans un disque de ${ℂ}_p$ de rayon strictement supérieur à $1$.

Abstract

In this paper, we prove an inequality linking the growth of a generalized casoratian of $m$ $p$-adic power series to the growth of the ordinary casoratian of these $m$ power series. A consequence is that if the casoratian of $m$ entire $p$-adic functions is a non zero polynomial, then all these functions are polynomials. As an application, we prove that if a linear difference equation of order $t$ with coefficients in ${ℂ}_p\left[x\right]$ has $t$ solutions meromorphic in all ${ℂ}_p$, linearly independant over ${ℂ}_p$, then the difference equation has $t$ solutions linearly independant over ${ℂ}_p$, that are rational functions. This is also the case when the linear difference equation has coefficients in $\mathbb{Q}\left[x\right]$, and has for an infinity of prime numbers $p$, $t$ meromorphic solutions, linearly independant over ${ℂ}_p$, in a disc of ${ℂ}_p$ with radius strictly greater than $1$.

Détail

DOI : 10.5802/afst.1380