Extending piecewise polynomial functions in two variables

Fischer, Andreas¹ ; Marshall, Murray² 

¹Fields Institute, Toronto, Canada, current: Comenius Gymnasium Datteln, Südring150, 45711 Datteln, Germany
²University of Saskatchewan, Department of Mathematics & Statistics, 106 Wiggins Road, Saskatoon, SK, S7N 5E6, Canada

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 22 (2013) no. 2, pp. 253-268

Abstract (VO)

We study the extensibility of piecewise polynomial functions defined on closed subsets of ${ℝ}^2$ to all of ${ℝ}^2$. The compact subsets of ${ℝ}^2$ on which every piecewise polynomial function is extensible to ${ℝ}^2$ can be characterized in terms of local quasi-convexity if they are definable in an o-minimal expansion of $ℝ$. Even the noncompact closed definable subsets can be characterized if semialgebraic function germs at infinity are dense in the Hardy field of definable germs. We also present a piecewise polynomial function defined on a compact, convex, but undefinable subset of ${ℝ}^2$ which is not extensible to ${ℝ}^2$.

Résumé

Nous étudions le prolongement des fonctions polynômes par morceaux définies sur des sous-ensembles fermés de ${ℝ}^2$ à tout ${ℝ}^2$. Les sous-ensembles compacts de ${ℝ}^2$ sur lesquels chaque fonction polynôme par morceaux est prolongeable à ${ℝ}^2$ peuvent être caractérisés en termes de quasi-convexité locale si ils sont définissables dans une expansion o-minimale de $ℝ$. Même les sous-ensembles non compacts fermés définissables peuvent être caractérisés si les germes de fonctions semi-algébriques à l’infini sont denses dans le corps de Hardy des germes définissables. Nous présentons également une fonction polynôme par morceaux définie sur un sous-ensemble compact, convexe, mais indéfinissable de ${ℝ}^2$, et qui n’est pas prolongeable à ${ℝ}^2$.

Détail

DOI : 10.5802/afst.1372