Courbes multiples primitives et déformations de courbes lisses

Drézet, Jean-Marc¹ 

¹Institut de Mathématiques de Jussieu, Case 247, 4 place Jussieu, F-75252 Paris, France

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 22 (2013) no. 1, pp. 133-154

Résumé (VO)

Une courbe multiple primitive est une variété de Cohen-Macaulay $Y$ telle que $C=Y_{red}$ soit une courbe lisse irréductible, et que $Y$ puisse être localement plongée dans une surface lisse. Soient $T$ une courbe lisse et $t_0\in T$. Soient $𝒟⟶T$ une famille plate de courbes lisses irréductibles, et $C={𝒟}_{t_0}$. Alors le $n$-ième voisinage infinitésimal de $C$ dans $𝒟$ est une courbe multiple primitive de multiplicité $n$, et le faisceau d’idéaux ${ℐ}_C$ de $C$ dans $C_n$ est le fibré trivial sur la courbe induite $C_{n-1}$ de multiplicité $n-1$. Réciproquement, on montre que toute courbe multiple primitive $Y=C_n$ de multiplicité $n$ telle que ${ℐ}_C$ soit trivial sur $C_{n-1}$ peut être construite de cette façon.

Abstract

A primitive multiple curve is a Cohen-Macaulay scheme $Y$ over $ℂ$ such that $C=Y_{red}$ is a smooth curve, and that $Y$ can be locally embedded in a smooth surface. Let $T$ be a smooth curve and $t_0\in T$. Let $𝒟⟶T$ be a flat family of projective smooth irreducible curves, and $C={𝒟}_{t_0}$. Then the $n$-th infinitesimal neighbourhood of $C$ in $𝒟$ is a primitive multiple curve $C_n$ of multiplicity $n$, and the ideal sheaf ${ℐ}_C$ of $C$ in $C_n$ is the trivial line bundle on the induced curve $C_{n-1}$ of multiplicity $n-1$. Conversely, we prove that every projective primitive multiple curve $Y=C_n$ such that ${ℐ}_C$ is the trivial line bundle on $C_{n-1}$can be obtained in this way.

Détail

DOI : 10.5802/afst.1368