Compétition Réaction-Diffusion et comportement asymptotique d’un problème d’obstacle doublement non linéaire

Karami, Fahd¹ 

¹École Supérieure de Technologie d’Essaouira, Université Cadi Ayyad, B.P. 383 Eassaouira El Jadida, Essaouira, Maroc

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 19 (2010) no. 2, pp. 345-362

Résumé (VO)

Le but de cet article est l’étude de la compétition Réaction-Diffusion pour un problème de type ${\displaystyle \beta {\left(w\right)}_t-d_{\epsilon }diva(x,Dw)+r_{\epsilon }g\left(x,\beta \left(w\right)\right)=f,}$ où $\mathbf{a}$ est un opérateur de Lerray-Lions, $\beta$ est une fonction continue croissante et la réaction $g$ est une fonction croissante qui dépend de l’espace $x$. On suppose que les coefficients de diffusion $d_{\epsilon }$ et de Réaction $r_{\epsilon }$ dépendent du paramètre $\epsilon$ avec $d_{\epsilon }$ et/ou $r_{\epsilon }$ tends vers $+\infty$ lorsque ${\displaystyle \epsilon \to 0}$. Dans le cas où, le coefficient de réaction est très rapide, nous étudions le comportement asymptotique lorsque ${\displaystyle t\to \infty }$ de la solution du problème d’obstacle afin de caractériser la donnée initiale du problème limite.

Abstract

In this paper, we study the competition between the diffusion and the reaction for the problem of type ${\displaystyle \beta {\left(w\right)}_t-d_{\epsilon }diva(x,Dw)+r_{\epsilon }g\left(x,\beta \left(w\right)\right)=f,}$ where $\mathbf{a}$ is a Lerray-Lions operator, $\beta$ is a nondecreasing continuous function and the reaction $g$ is a nondecreasing function that depend on the space $x$. Assume that, the coefficient of diffusion $d_{\epsilon }$ and the reaction $r_{\epsilon }$ depend on the parameter $\epsilon$ with $d_{\epsilon }$ and/or $r_{\epsilon }$ tends to $+\infty$ as ${\displaystyle \epsilon \to 0}$. In the case when, the reaction coefficient is very fast, we study the asymptotic behavior as ${\displaystyle t\to \infty }$ of the solution of the obstacle problem to characterize the initial data for the limit problem.

Détail

DOI : 10.5802/afst.1246